Каталог по темам

Задачи

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 354]

Задача 61170

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Формула Герона	]
	[	Неравенства для площади треугольника	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть x, y, z – положительные числа и xyz(x + y + z) = 1. Найдите наименьшее значение выражения (x + y)(x + z).

Прислать комментарий

Решение

Задача 76451

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Правильные многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Доказать, что cos ^2π/₅ + cos ^4π/₅ = – ½.

Прислать комментарий

Решение

Задача 77988

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

В плоскости дан треугольник A₁A₂A₃ и прямая l вне его, образующая с продолжением сторон треугольника A₁A₂, A₂A₃, A₃A₁ соответственно углы α₃, α₁, α₂. Через точки A₁, A₂, A₃ проводятся прямые, образующие с l соответственно углы π – α₁, π – α₂, π – α₃. Доказать, что эти прямые пересекаются в одной точке. Все углы отсчитываются от прямой l в одном направлении.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78148

Темы:	[	Выход в пространство	]
Темы:	[	Задачи на движение	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На плоскости даны четыре прямые, из которых никакие две не параллельны, и никакие три не пересекаются в одной точке. По каждой прямой с постоянной скоростью идёт пешеход. Известно, что первый встречается со вторым, с третьим и с четвёртым, а второй встречается с третьим и с четвёртым. Доказать, что третий пешеход встретится с четвёртым.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78202

Темы:	[	Комплексные числа в геометрии	]
Темы:	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Даны n комплексных чисел C₁, C₂,..., C_n, таких, что если их представлять себе как точки плоскости, то они являются вершинами выпуклого n-угольника. Доказать, что если комплексное число z обладает тем свойством, что

$\displaystyle {\frac{1}{z-C_1}}$ + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_2}}$ + ... + $\displaystyle {\frac{1}{z-C_n}}$ = 0,

то точка плоскости, соответствующая z, лежит внутри этого n-угольника.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 354]