Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 >> [Всего задач: 21756]

Задача 61306

Темы:	[	Ограниченность, монотонность	]
Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Последовательность чисел {a_n} задана условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

Верно ли, что эта последовательность ограничена?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61327

Тема:

[

Производная и касательная

]

Сложность: 3
Классы: 10,11

Докажите, что касательная к графику функции f (x), построенная в точке с координатами (x₀;f (x₀)) пересекает ось Ox в точке с координатой

x₀ - $\displaystyle {\frac{f(x_0)}{f'(x_0)}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61335

[Метод Архимеда]

Темы:	[	Окружности (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]

Сложность: 3
Классы: 9,10,11

Рассмотрим окружность радиуса 1. Опишем около нее и впишем в нее правильные n-угольники. Обозначим их периметры через P_n (для описанного) и p_n (для вписанного).
   а) Найдите P₄, p₄, P₆ и p₆.
   б) Докажите, что справедливы следующие рекуррентные соотношения:    P_2n = ,        p_2n =         (n ≥ 3).
   в) Найдите P₉₆ и p₉₆. Докажите неравенства   3¹⁰/₇₁ < π < 3¹/₇.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61340

Тема:

[

Задачи на движение

]

Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Коля Васин гулял после школы пять часов. Сначала он шёл по горизонтальной дороге, затем поднялся в гору и, наконец, по старому маршруту возвратился назад в исходный пункт. Его скорость была 4 км/ч на горизонтальном участке пути, 3 км/ч при подъеме в гору и 6 км/ч – при спуске с горы. Какое расстояние прошёл Коля Васин?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61363

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Неравенство Коши	]
	[	Формулы сокращенного умножения (прочее)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Докажите неравенство для положительных значений переменных: (ab + bc + ac)² ≥ 3abc(a + b + c).

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1130 1131 1132 1133 1134 1135 1136 >> [Всего задач: 21756]