Каталог по темам

Задачи

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 965]

Задача 61334

[Метод Лобачевского и числа Люка]

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
	[	Итерации	]
	[	Числа Фибоначчи	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена x² – x – 1. Какие последовательности будут сходиться к корням x₁ и x₂, если |x₁| > |x₂|?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61448

[Интерполяционная формула Ньютона]

Темы:	[	Интерполяционный многочлен Ньютона	]
Темы:	[	Треугольник Паскаля и бином Ньютона	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

а) Докажите, что для любого многочлена f(x) степени n существует единственное представление его в виде

Биномиальный коэффициент

интерпретируется как многочлен от переменной x. В частности, нижний индекс у биномиального коэффициента может быть любым действительным числом.

б) Докажите, что коэффициенты d₀, d₁, ..., d_n в этом представлении вычисляются по формуле d_k = Δ^kf(0) (0 ≤ k ≤ n).

Прислать комментарий

Решение

Задача 64192

Темы:	[	Квадратные уравнения. Теорема Виета	]
Темы:	[	Инварианты	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске было написано уравнение вида x² + px + q = 0 с целыми ненулевыми коэффициентами p и q. Временами к доске подходили разные школьники, стирали уравнение, после чего составляли и записывали уравнение такого же вида, корнями которого являются коэффициенты стёртого уравнения. В какой-то момент составленное уравнение совпало с тем, что было написано на доске изначально. Какое уравнение изначально было написано на доске?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64413

Темы:	[	Многочлены (прочее)	]
Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Пусть P(x) = a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ – многочлен с целыми коэффициентами.
Докажите, что хотя бы одно из чисел |3ⁿ⁺¹ – P(n + 1)|, ..., |3¹ – P(1)|, |1 – P(0)| не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66021

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения P(n₁)P(n₂)...P(n_k). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 52 53 54 55 56 57 58 >> [Всего задач: 965]