Каталог по темам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]

Задача 109710

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Дольников В.Л.

Дана последовательность неотрицательных чисел a₁ , a₂ , a_n . Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

_l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых m_k>α , меньше, чем a₁+a₂+...+a_n α.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57047

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Теорема Птолемея	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Теорема синусов	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Пусть $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите, что $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin 3\alpha }$.

Прислать комментарий Решение

Задача 86482

[Караван верблюдов]

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Графики и ГМТ на координатной плоскости	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61510

Темы:	[	Раскладки и разбиения	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка (5, 3, 3, 2) → (4, 4, 3, 1, 1) → (5, 3, 3, 2).

Прислать комментарий

Решение

Задача 67047

Темы:	[	Инварианты и полуинварианты (прочее)	]
Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Лукин М.

Дан отрезок [0, 1]. За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит ½.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]