На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB.  Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

   Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 499]      

На стороне AB треугольника ABC взята произвольная точка C₁. Точки A₁, B₁ на лучах BC и AC таковы, что  ∠AC₁B₁ = ∠BC₁A₁ = ∠ACB.  Прямые AA₁ и BB₁ пересекаются в точке C₂. Докажите, что все прямые C₁C₂ проходят через одну точку.

Прислать комментарий

Решение

Из точки A к окружности ω проведена касательная AD и произвольная секущая, пересекающая окружность в точках B и C (B лежит между точками A и C). Докажите, что окружность, проходящая через точки C и D и касающаяся прямой BD, проходит через фиксированную точку (отличную от D).

Прислать комментарий

Решение

Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках E и D соответственно. Отрезок DE пересекает стороны AB и BC в точках F и G . Пусть I – точка пересечения биссектрис треугольника ABC . Докажите, что четырёхугольник BFIG – ромб.

Прислать комментарий

Решение

Центр O описанной окружности четырёхугольника ABCD не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC – в точке F.
  а) Докажите все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой точке K.
  б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые EF и OK перпендикулярны?

Прислать комментарий

Решение

На окружности взяты последовательно точки A, B, C и D, причём AB = BD. Касательная к окружности в точке A пересекается с прямой BC в точке Q; R — точка пересечения прямых AB и CD. Докажите, что прямые QR и AD параллельны.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 65 66 67 68 69 70 71 >> [Всего задач: 499]