Каталог по темам

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 127]

Задача 64589

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Толпыго А.К.

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид ¹/_k, где k натуральное.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65251

Темы:	[	Четность и нечетность	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Голованов А.С.

Пусть n > 1 – натуральное число. Выпишем дроби ¹/_n, ²/_n, ..., ^n–1/_n и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через f(n). При каких натуральных n > 1 числа f(n) и f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98093

Темы:	[	Инварианты	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	Произведения и факториалы	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин Д.

На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., ¹/₁₀₀. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab. Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Прислать комментарий

Решение

Задача 60503

Темы:	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
Темы:	[	Обыкновенные дроби	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

При каких целых n сократимы дроби
а) ; б) ?

Прислать комментарий

Решение

Задача 78839

Темы:	[	Ряд Фарея	]
	[	Обыкновенные дроби	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Теорема Пика	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть ^a/_b и ^c/_d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 127]