Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 13 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Циркулем и линейкой разбейте данный треугольник на два меньших треугольника с одинаковой суммой квадратов сторон.

Вниз   Решение


Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из вершин B и C, равны 7 и 9, а медиана AM равна 8. Точки P и Q симметричны точке M относительно сторон AC и AB соответственно. Найдите периметр четырёхугольника APMQ.

ВверхВниз   Решение


Даны две параллельные прямые и секущая. С помощью циркуля и линейки постройте окружность, касающуюся всех трёх прямых.

ВверхВниз   Решение


В угол величины 2$ \alpha$ вписаны две касающиеся окружности. Найдите отношение радиуса меньшей окружности к радиусу третьей окружности, касающейся первых двух и одной из сторон угла.

ВверхВниз   Решение


Сфера, вписанная в пирамиду SABC, касается граней SAB, SBC, SCA в точках D, E, F соответственно.
Найдите все возможные значения суммы углов SDA, SEB и SFC.

ВверхВниз   Решение


Докажите, что любое натуральное число, десятичная запись которого состоит из 3n одинаковых цифр, делится на 37.

ВверхВниз   Решение


Две прямые проходят через точку M и касаются окружности в точках A и B. Проведя радиус OB, продолжают его за точку B на расстояние BC = OB. Докажите, что $ \angle$AMC = 3$ \angle$BMC.

ВверхВниз   Решение


Ваня задумал два положительных числа x и y. Он записал числа  x + y,  x – y,  xy и x/y и показал их Пете, но не сказал, какое число какой операцией получено. Докажите, что Петя сможет однозначно восстановить x и y.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике KMN проведены высота NA, биссектриса NB и медиана NC, которые делят угол KNM на четыре равные части. Найдите длины высоты NA, биссектрисы NB и медианы NC, если радиус описанной около треугольника KMN окружности равен R.

ВверхВниз   Решение


В параллелограмме ABCD точка E – середина AD. Точка F – основание перпендикуляра, опущенного из B на прямую CE.
Докажите, что треугольник ABF – равнобедренный.

ВверхВниз   Решение


Две окружности радиусов R и r (R > r) касаются внешне в точке C. К ним проведена общая внешняя касательная AB, где A и B — точки касания. Найдите стороны треугольника ABC.

ВверхВниз   Решение


а) Натуральные числа x, x² и x³ начинаются с одной и той же цифры. Обязательно ли эта цифра – единица?
б) Тот же вопрос для натуральных чисел x, x², x³, ..., x2015.

ВверхВниз   Решение


Автор: Иванов К.

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 258]      



Задача 65079

Темы:   [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Выделение полного квадрата. Суммы квадратов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В вершинах куба расставили числа 1², 2², ..., 8² (в каждую из вершин – по одному числу). Для каждого ребра посчитали произведение чисел в его концах. Найдите наибольшую возможную сумму всех этих произведений.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65255

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Иванов К.

Действительные числа a, b, c, d, по модулю большие единицы, удовлетворяют соотношению   abc + abd + acd + bcd + a + b + c + d = 0.
Докажите, что  

Прислать комментарий     Решение

Задача 79492

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ]
[ Неравенство Коши ]
[ Числовые неравенства. Сравнения чисел. ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

Прислать комментарий     Решение

Задача 97765

Темы:   [ Доказательство от противного ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 проведено конечное количество отрезков, параллельных его сторонам. Отрезки могут пересекать друг друга. Сумма длин проведенных отрезков равна 18. Докажите, что среди частей, на которые разбивается квадрат этими отрезками, найдётся такая, площадь которой не меньше 0,01.

Прислать комментарий     Решение

Задача 109792

Темы:   [ Алгебраические неравенства (прочее) ]
[ Классические неравенства (прочее) ]
[ Упорядочивание по возрастанию (убыванию) ]
[ Неравенства. Метод интервалов ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Пусть a, b, c – положительные числа, сумма которых равна 1. Докажите неравенство:  

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 28 29 30 31 32 33 34 >> [Всего задач: 258]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .