Каталог по темам

Выбрано 9 задач

Последовательность x₀, x₁, x₂, ... определена следующими условиями: x₀ = 1, x₁ = λ, для любого n > 1 выполнено равенство

(α + β)ⁿx_n = αⁿx_nx₀ + α^n–1βx_n–1x₁ + α^n–2β²x_n–2x₂ + ... + βⁿx₀x_n.

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

Решение

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

Решение

Авторы: Бугаенко В.О., Егоров А.А.

Положительные числа a, b, c таковы, что a² + b² – ab = c². Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Решение

Найдите сумму (см. задачу 60424 про треугольник Лейбница):
¹/₁₂ + ¹/₃₀ + ¹/₆₀ + ¹/₁₀₅ + ...
и обобщите полученный результат.

Решение

Основание призмы – квадрат со стороной a . Одна из боковых граней – также квадрат, другая – ромб с углом 60^o . Найдите полную поверхность призмы.

Решение

Авторы: Фольклор, Фольклор

Давным-давно страной Тарнией правил царь Ятианр. Чтобы тарнийцы поменьше рассуждали, он придумал для них простой язык. Его алфавит состоял всего из шести букв: А, И, Н, Р, Т, Я, но порядок их отличался от принятого в русском языке. Словами этого языка были все последовательности, использующие каждую из этих букв по одному разу. Ятианр издал полный словарь нового языка. В соответствии с алфавитом первым словом словаря оказалось "Тарния". Какое слово следовало в словаре за именем Ятианр?

Решение

В плоскости отмечена 101 точка, не все они лежат на одной прямой. Через каждую пару отмеченных точек красным карандашом проводится прямая. Докажите, что на плоскости существует точка, через которую проходит не меньше 11 красных прямых.

Решение

На плоскости даны 2004 точки. Запишем все попарные расстояния между ними.
Докажите, что среди записанных чисел не менее тридцати различных.

Решение

Можно ли из кубиков размером 1×1×1 склеить многогранник, площадь поверхности которого равна 2015? (Кубики приклеиваются так, что склеиваемые грани полностью примыкают друг к другу.)

Решение

Задача 87404

Задача 65589

Задача 107775

Задача 86485

Задача 87259