Каталог по темам

Задачи

Страница: << 225 226 227 228 229 230 231 >> [Всего задач: 1376]

Задача 65370

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Теорема косинусов	]
	[	Квадратные неравенства и системы неравенств	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Полянский А., Харитонов М.

На плоскости нарисованы 100 кругов, каждые два из которых имеют общую точку (возможно, граничную).
Докажите, что найдётся точка, принадлежащая не менее чем 15 кругам.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65710

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Богданов И.И.

Дана клетчатая таблица 100×100, клетки которой покрашены в чёрный и белый цвета. При этом во всех столбцах поровну чёрных клеток, в то время как во всех строках разные количества чёрных клеток. Каково максимальное возможное количество пар соседних по стороне разноцветных клеток?

Прислать комментарий Решение

Задача 65711

Темы:	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

В белой таблице 2016×2016 некоторые клетки окрасили чёрным. Назовём натуральное число k удачным, если k ≤ 2016, и в каждом из клетчатых квадратов со стороной k, расположенных в таблице, окрашено ровно k клеток. (Например, если все клетки чёрные, то удачным является только число 1.) Какое наибольшее количество чисел могут быть удачными?

Прислать комментарий Решение

Задача 66021

Темы:	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]
	[	Раскраски	]
	[	Арифметическая прогрессия	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Автор: Жуков Г.

Учитель собирается дать детям задачу следующего вида. Он сообщит им, что он задумал многочлен P(x) степени 2017 с целыми коэффициентами, старший коэффициент которого равен 1. Затем он сообщит им k целых чисел n₁, n₂, ..., n_k и отдельно сообщит значение выражения P(n₁)P(n₂)...P(n_k). По этим данным дети должны найти многочлен, который мог бы задумать учитель. При каком наименьшем k учитель сможет составить задачу такого вида так, чтобы многочлен, найденный детьми, обязательно совпал бы с задуманным?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66154

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
	[	Раскраски	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Доказательство от противного	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Антипов М.

Каждая клетка доски 100×100 окрашена либо в чёрный, либо в белый цвет, причём все клетки, примыкающие к границе доски – чёрные. Оказалось, что нигде на доске нет одноцветного клетчатого квадрата 2×2. Докажите, что на доске найдётся клетчатый квадрат 2×2, клетки которого окрашены в шахматном порядке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 225 226 227 228 229 230 231 >> [Всего задач: 1376]