Каталог по темам

Задачи

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]

Задача 78062

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64802

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Фольклор

Две точки окружности соединили ломаной, длина которой меньше диаметра окружности.
Докажите, что существует диаметр, не пересекающий эту ломаную.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98294

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Васильев Н.Б.

Рассматриваются всевозможные шестизвенные замкнутые ломаные, все вершины которых лежат на окружности.
а) Нарисуйте такую ломаную, которая имеет наибольшее возможное число точек самопересечения.
б) Докажите, что большего числа самопересечений такая ломаная не может иметь.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66922

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Иванищук А.В.

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

Прислать комментарий Решение

Задача 35460

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Докажите, что всякую замкнутую ломаную периметра Р можно заключить в круг, радиус которого не превосходит ^Р/₄.

Прислать комментарий

Решение

Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 30]