Пусть O – центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC, S_A, S_B, S_C – окружности с центром O, касающиеся сторон BC, CA и AB соответственно. Докажите, что сумма трёх углов: между касательными к S_A, проведёнными из точки A, к S_B – из точки B, и к S_C – из точки C, равна 180°.

   Решение

Равнобедренный треугольник ABC ( C = 90^o) и треугольник DEF расположены так, что точка D лежит на стороне AB, а точка E — на продолжении стороны AB за точку A. Отрезок KL является средней линией в обоих треугольниках, и площадь четырёхугольника DKLB составляет площади треугольника ABC. Найдите угол DEF.

   Решение

Пусть $H$ – ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$; $E$, $F$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$ соответственно, что $AEHF$ – параллелограмм; $X$, $Y$ – точки пересечения прямой $EF$ с описанной окружностью $\omega$ треугольника $ABC$; $Z$ – точка $\omega$, диаметрально противоположная $A$. Докажите, что $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$.

   Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 403]      

Основание CD, диагональ BD и боковая сторона AD трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ AC.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что квадрат биссектрисы треугольника равен произведению сторон, её заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой.

Прислать комментарий

Решение

Точки A, B и C лежат на одной прямой (точка B расположена между точками A и C). Через точки A и B проводятся окружности, а через точку C — касательные к ним. Найдите геометрическое место точек касания.

Прислать комментарий

Решение

Пусть O — точка пересечения диагоналей трапеции ABCD ( AB || CD), A₁ и B₁ — точки, симметричные точкам A и B относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что ACA₁ = BDB₁.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $H$ – ортоцентр остроугольного треугольника $ABC$; $E$, $F$ – такие точки на сторонах $AB$, $AC$ соответственно, что $AEHF$ – параллелограмм; $X$, $Y$ – точки пересечения прямой $EF$ с описанной окружностью $\omega$ треугольника $ABC$; $Z$ – точка $\omega$, диаметрально противоположная $A$. Докажите, что $H$ – ортоцентр треугольника $XYZ$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 46 47 48 49 50 51 52 >> [Всего задач: 403]