Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 187]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Из двухсот чисел: 1, 2, 3, ..., 199, 200 выбрали одно число, меньшее 16, и ещё 99 чисел.
Докажите, что среди выбранных чисел найдeтся два таких, одно из которых делится на другое.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
Даны положительные рациональные числа a, b. Один из корней трёхчлена x² – ax + b – рациональное число, в несократимой записи имеющее вид m/n. Докажите, что знаменатель хотя бы одного из чисел a и b (в несократимой записи) не меньше n2/3.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 10,11
|
Обозначим через [n]! произведение 1·11·111·...·11...11 – всего n сомножителей, в последнем – n единиц.
Докажите, что [n + m]! делится на произведение [n]!·[m]!.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10,11
|
Вася выбрал $100$ различных натуральных чисел из множества ${1, 2, 3, \ldots, 120}$ и расставил их в некотором порядке вместо звёздочек в выражении (всего $100$ звёздочек и $50$ знаков корня)
$$
\sqrt{(* + *)\cdot \sqrt{(* + *) \cdot \sqrt{ \ldots \sqrt{*+*}}}} .
$$
Могло ли значение полученного выражения оказаться целым числом?
Страница:
<< 31 32 33 34
35 36 37 >> [Всего задач: 187]
Фильтр
Решение 
