Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Четырехугольники
>>
Вписанные четырехугольники
>>
Теорема Птолемея
Фильтр
Выбрано 17 задач Убрать все задачи
Точки $P$ и $Q$ выбираются на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что $BP=CQ$. Отрезки $AP$ и $AQ$ в пересечении со вписанной в треугольник окружностью образуют четырехугольник $XYZT$. Найдите геометрическое место точек пересечения диагоналей таких четырехугольников.
В квадрате со стороной длины 1 выбрано 102 точки, из которых никакие три не лежат на одной прямой. Доказать, что найдётся треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого меньше, чем 1/100.
Периметр ромба равен 8, высота равна 1. Найдите тупой угол ромба.
Точки K, L, M и N – середины сторон соответственно AB, BC, CD и AD параллелограмма ABCD.
Докажите, что четырёхугольник с вершинами в точках пересечения прямых AL, BM, CN и DK – параллелограмм.
Через точку, лежащую внутри треугольника, проведены
три прямые, параллельные его сторонам. Обозначим площади частей, на
которые эти прямые разбивают треугольник, так, как показано на рис.
Докажите, что
a/ + b/
+ c/
3/2.
В квадрат, площадь которого равна 18, вписан прямоугольник так, что на каждой стороне квадрата лежит одна вершина прямоугольника. Стороны прямоугольника относятся как 1 : 2.
Найдите площадь прямоугольника.
В ромб вписана окружность. На какие четыре части она делится точками касания сторон, если острый угол ромба равен 37o?
ABCD — выпуклый четырехугольник площади S.
Угол между прямыми AB и CD равен a, угол между AD и BC
равен . Докажите, что
В треугольнике ABC ALa и AMa – внутренняя и внешняя биссектрисы угла A. Пусть ωa – окружность, симметричная описанной окружности Ωa треугольника ALaMa относительно середины BC. Окружность ωb определена аналогично. Докажите, что ωa и ωb касаются тогда и только тогда, когда треугольник ABC прямоугольный.
Через середину ребра AB куба
ABCDA1B1C1D1 с ребром, равным a,
проведена плоскость, параллельная прямым BD1 и
A1C1.
1) В каком отношении эта плоскость делит диагональ DB1?
2) Найдите площадь полученного сечения.
На продолжении ребра ST за точку T правильной четырёхугольной
пирамиды SPQRT с вершиной S взята такая точка B , что расстояние
от неё до плоскости SPQ равно . Найдите отрезок
BT , если QR = 12 , а SR = 10 .
В равнобедренную трапецию с боковой стороной, равной 9, вписана окружность радиуса 4. Найдите площадь трапеции.
Две окружности касаются в точке K. Через точку K проведены две прямые, пересекающие первую окружность в точках A и B, вторую -- в точках C и D. Докажите, что AB || CD.
Для каждого натурального n приведите пример прямоугольника, который разрезался бы ровно на n квадратов, среди которых должно быть не более двух одинаковых.
На доске была начерчена трапеция, в ней была проведена средняя линия EF и опущен перпендикуляр OK из точки O пересечения диагоналей на большее основание. Затем трапецию стерли. Как восстановить чертеж по сохранившимся отрезкам EF и OK?
На продолжении ребра SK правильной четырёхугольной пирамиды
SKLMN с вершиной S взята такая точка A , что расстояние от неё
до плоскости SMN равно 24. Найдите отрезок KA , если SL = 2 ,
а MN = 16 .
Пусть a, b, c,
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
Задачи Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
Задача 65024 |
|
Шестиугольник ABCDEF вписан в окружность. Известно, что AB·CF = 2BC·FA, CD·EB = 2DE·BC, EF·AD = 2FA·DE.
Докажите, что прямые AD, BE и CF пересекаются в одной точке.
|
|
Решение |
Задача 73672 |
|
Пусть a, b, c,
а) S ≤ ab + cd;
б) S ≤ ac + bd.
в) Докажите, что если хотя бы в одном из этих неравенств достигается равенство, то четырёхугольник можно вписать в окружность.
|
|
Решение |
Задача 65017 |
|
В угол с вершиной A вписана окружность, касающаяся сторон угла в точках B и C. Прямая, проходящая через A, пересекает окружность в точках D и E. Хорда BX параллельна прямой DE. Докажите, что отрезок XC проходит через середину отрезка DE.
|
|
|
Решение |
Задача 111714 |
|
|
Прямые, симметричные диагонали BD четырёхугольника ABCD относительно биссектрис углов B и D, проходят через середину диагонали AC.
Докажите, что прямые, симметричные диагонали AC относительно биссектрис углов A и C, проходят через середину диагонали BD.
|
|
|
Решение |
Задача 116176 |
|
B основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит четырёхугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке P, и SP является высотой пирамиды. Докажите, что проекции точки P на боковые грани пирамиды лежат на одной окружности.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 [Всего задач: 35]
