Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 965]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
На координатной плоскости нарисовано n парабол, являющихся графиками квадратных трёхчленов; никакие две из них не касаются. Они делят плоскость на несколько областей, одна из которых расположена над всеми параболами. Докажите, что у границы этой области не более 2(n – 1) углов
(то есть точек пересечения пары парабол).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
а) Пусть q – натуральное число и функция
f(x) = cqx + anxn + ... + a1x + a0 принимает целые значения при x = 0, 1, 2, ..., n + 1.
Докажите, что при любом натуральном x число f(x) также будет целым.
б) Пусть выполняются условия пункта а) и f(x) делится на некоторое целое m ≥ 1 при x = 0, 1, 2, ..., n + 1. Докажите, что f(x) делится на m при всех натуральных x.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Докажите, что для любого натурального числа $n\geqslant 2$ и для любых действительных чисел $a_1, a_2, \ldots, a_n$,
удовлетворяющих условию $a_1+a_2+\ldots+a_n\ne 0$, уравнение
\begin{align*}
&a_1(x-a_2)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\\+&a_2(x-a_1)(x-a_3)\ldots(x-a_n)+\ldots\\
\ldots+&a_n(x-a_1)(x-a_2)\ldots(x-a_{n-1})=0
\end{align*}
имеет хотя бы один действительный корень.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 7,8,9
|
По окружности выписаны n чисел x1, x2, ..., xn, каждое из которых равно 1 или –1, причём сумма произведений соседних чисел равна нулю и вообще для каждого k = 1, 2, ..., n – 1 сумма n произведений чисел, отстоящих друг от друга на k мест, равна нулю
(то есть x1x2 + x2x3 + ... + xnx1 = 0,
x1x3 + x2x4 + ... + xnx2 = 0, x1x4 + x2x5 + ... + xnx3 = 0 и так далее; например, для n = 4 можно взять одно из чисел равным –1, а три других – равными 1).
а) Докажите, что n – квадрат целого числа.
б)* Существует ли такой набор чисел для n = 16?
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Найти такие отличные от нуля неравные между собой целые числа a, b, c, чтобы выражение x(x – a)(x – b)(x – c) + 1 разлагалось в произведение двух многочленов (ненулевой степени) с целыми коэффициентами.
Страница:
<< 59 60 61 62
63 64 65 >> [Всего задач: 965]
Фильтр
Решение 
