Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Точка $O$ – центр описанной окружности остроугольного треугольника $ABC$, $AH$ – его высота. Точка $P$ – основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $CO$. Докажите, что прямая $HP$ проходит через середину стороны $AB$.

Вниз   Решение


Упростить выражение   .

ВверхВниз   Решение


Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K и сторону AC в точке E. Найдите AE, зная, что AK = KB = a, $ \angle$BCK = $ \alpha$, $ \angle$CBE = $ \beta$.

ВверхВниз   Решение


Найдите отношение сторон прямоугольного треугольника, если известно, что одна половина гипотенузы (от вершины до середины гипотенузы) видна из центра вписанной окружности под прямым углом.

ВверхВниз   Решение


Внутри каждой стороны параллелограмма выбрано по точке. Выбранные точки сторон, имеющих общую вершину, соединены. Докажите, что центры описанных окружностей четырех получившихся треугольников являются вершинами некоторого параллелограмма.

ВверхВниз   Решение


В весеннем туре турнира городов 2000 года старшеклассникам страны N было предложено шесть задач. Каждую задачу решило ровно 1000 школьников, но никакие два школьника не решили вместе все шесть задач. Каково наименьшее возможное число старшеклассников страны N, принявших участие в весеннем туре?

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC на стороне AB взята точка L, причём  AL = 1,  BL = 3,  а на стороне BC взята точка K, делящая эту сторону в отношении
BK : KC = 3 : 2.  Точка Q пересечения прямых AK и CL отстоит от прямой BC на расстоянии 1,5. Вычислите синус угла B.

ВверхВниз   Решение


Расстояния от точки X стороны BC треугольника ABC до прямых AB и AC равны db и dc. Докажите, что  db/dc = BX . AC/(CX . AB).

ВверхВниз   Решение


Какое наименьшее количество точек на плоскости надо взять, чтобы среди попарных расстояний между ними встретились числа 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64?

ВверхВниз   Решение


Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 367]      



Задача 77878

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Неравенства с модулями ]
[ Арифметическая прогрессия ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Сколько различных целочисленных решений имеет неравенство  |x| + |y| < 100?

Прислать комментарий     Решение

Задача 77882

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Метод спуска ]
[ Деление с остатком ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Доказать, что равенство  x² + y² + z² = 2xyz  для целых x, y и z возможно только при  x = y = z = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78042

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9

Решить в целых числах уравнение  x³ – 2y³ – 4z³ = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 78159

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Арифметика остатков (прочее) ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Решить в натуральных числах уравнение  x2y–1 + (x + 1)2y–1 = (x + 2)2y–1.

Прислать комментарий     Решение

Задача 79425

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ Четность и нечетность ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Найти все пары целых чисел  (x, y),  удовлетворяющих уравнению  x² = y² + 2y + 13.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 27 28 29 30 31 32 33 >> [Всего задач: 367]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .