Каталог по темам

Задачи

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 1221]

Задача 111880

Темы:	[	Подсчет двумя способами	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Покрытия	]
	[	Классическая комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

В НИИЧАВО работают несколько научных сотрудников. В течение 8-часового рабочего дня сотрудники ходили в буфет, возможно по нескольку раз. Известно, что для каждых двух сотрудников суммарное время, в течение которого в буфете находился ровно один из них, оказалось не менее x часов (x > 4). Какое наибольшее количество научных сотрудников могло работать в этот день в НИИЧАВО (в зависимости от x)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 61339

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Тригонометрические замены	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Тройки чисел (x_n, y_n, z_n) (n $\geqslant$ 1) строятся по правилу: x₁ = 2, y₁ = 4, z₁ = 6/7,

x_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2x_n}{x_n^2-1}}$ , y_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2y_n}{y_n^2-1}}$ , z_{n + 1} = $\displaystyle {\frac{2z_n}{z_n^2-1}}$ , (n $\displaystyle \geqslant$ 1).

а) Докажите, что указанный процесс построения троек может быть неограниченно продолжен.
б) Может ли на некотором шаге получится тройка чисел (x_n, y_n, z_n), для которой x_n + y_n + z_n = 0?

Прислать комментарий

Решение

Задача 66617

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Полуинварианты	]

Сложность: 6
Классы: 10,11

Автор: Шейпак И.А.

На доске написано несколько чисел. Разрешается стереть любые два числа $a$ и $b$, а затем вместо одного из них написать число $\frac{a+b}{4}$. Какое наименьшее число может остаться на доске после 2018 таких операций, если изначально на ней написано 2019 единиц?

Прислать комментарий Решение

Задача 78080

Темы:	[	Неравенства с площадями	]
Темы:	[	Итерации	]

Сложность: 6
Классы: 8,9

На столе лежат 15 журналов, закрывающих его целиком. Докажите, что можно забрать семь журналов так, чтобы оставшиеся журналы закрывали не меньше 8/15 площади стола. (Эту задачу не решил никто из участников олимпиады.)

Прислать комментарий Решение

Задача 109694

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 158 159 160 161 162 163 164 >> [Всего задач: 1221]