Каталог по темам

Задачи

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 354]

Задача 78089

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 78140

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого ${\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.

Прислать комментарий Решение

Задача 56714

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109860

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Галочкин А.И.

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .

Прислать комментарий Решение

Задача 116649

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Берлов С.Л.

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 43 44 45 46 47 48 49 >> [Всего задач: 354]