Каталог по темам

Задачи

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 354]

Задача 78140

Темы:	[	Индукция в геометрии	]
	[	Метод координат на плоскости	]
	[	Геометрические неравенства (прочее)	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Бесконечная плоская ломаная A₀A₁...A_n..., все углы которой прямые, начинается в точке A₀ с координатами x = 0, y = 1 и обходит начало координат O по часовой стрелке. Первое звено ломаной имеет длину 2 и параллельно биссектрисе 4-го координатного угла. Каждое из следующих звеньев пересекает одну из координатных осей и имеет наименьшую возможную при этом целочисленную длину. Расстояние OA_n = l_n. Сумма длин первых n звеньев ломаной равна s_n. Доказать, что найдётся n, для которого ${\frac{s_n}{l_n}}$ > 1958.

Прислать комментарий Решение

Задача 56714

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

На плоскости даны две неконцентрические окружности S₁ и S₂. Докажите, что геометрическим местом точек, для которых степень относительно S₁ равна степени относительно S₂, является прямая.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109860

Темы:	[	Тригонометрические неравенства	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Алгебраические задачи на неравенство треугольника	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Галочкин А.И.

Для углов α , β , γ справедливо равенство sinα + sinβ + sinγ 2 . Докажите, что cosα + cosβ + cosγ .

Прислать комментарий Решение

Задача 116649

Темы:	[	Задачи на движение	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Плоскость, разрезанная прямыми	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Берлов С.Л.

По шоссе в одном направлении едут 10 автомобилей. Шоссе проходит через несколько населённых пунктов. Каждый из автомобилей едет с некоторой постоянной скоростью в населённых пунктах и с некоторой другой постоянной скоростью вне населённых пунктов. Для разных автомобилей эти скорости могут отличаться. Вдоль шоссе расположено 2011 флажков. Известно, что каждый автомобиль проехал мимо каждого флажка, причём около флажков обгонов не происходило. Докажите, что мимо каких-то двух флажков автомобили проехали в одном и том же порядке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 57073

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 6
Классы: 9

Докажите, что в правильном тридцатиугольнике A₁...A₃₀ следующие тройки диагоналей:
а) A₁A₇, A₂A₉, A₄A₂₃;
б) A₁A₇, A₂A₁₅, A₄A₂₉;
в) A₁A₁₃, A₂A₁₅, A₁₀A₂₉
пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 45 46 47 48 49 50 51 >> [Всего задач: 354]