Каталог по темам

Задачи

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 354]

Задача 57071

Темы:	[	Правильные многоугольники	]
Темы:	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 4+
Классы: 9

Правильный (4k+2)-угольник вписан в окружность радиуса R с центром O.
Докажите, что сумма длин отрезков, высекаемых углом A_kOA_k+1 на прямых A₁A_2k, A₂A_2k–1, ..., A_kA_k+1, равна R.

Прислать комментарий

Решение

Задача 65810

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Выход в пространство	]
	[	Равногранный тетраэдр	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Якубов А.

Пусть M_A, M_B, M_C – середины сторон неравнобедренного треугольника ABC, точки H_A, H_B, H_C, отличные от M_A, M_B, M_C, лежащие на соответствующих сторонах, таковы, что M_AH_B = M_AH_C, M_BH_A = M_BH_C, M_CH_A = M_CH_B. Докажите, что H_A, H_B, H_C – основания высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73729

Темы:	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Целочисленные решетки	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Кириллов А.А.

Даны два взаимно простых натуральных числа a и b. Рассмотрим множество M целых чисел, представимых в виде ax + by, где x и y – целые неотрицательные числа.
а) Каково наибольшее целое число c, не принадлежащее множеству М?
б) Докажите, что из двух чисел n и с – n (где n – любое целое) одно принадлежит М, а другое нет.

Прислать комментарий

Решение

Задача 55628

Темы:	[	Свойства симметрии и центра симметрии	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Существует ли фигура, имеющая ровно две оси симметрии, но не имеющая центра симметрии?

Прислать комментарий Решение

Задача 78089

Темы:	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
Темы:	[	Метод координат на плоскости	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

На клетчатой бумаге выбраны три точки A, B, C, находящиеся в вершинах клеток. Докажите, что если треугольник ABC остроугольный, то внутри или на сторонах его есть по крайней мере еще одна вершина клетки.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 44 45 46 47 48 49 50 >> [Всего задач: 354]