Фильтр
Выбрано 10 задач Убрать все задачи
При каких значениях параметра a уравнение (a – 1)x² – 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?
Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Bz – B z + C = 0, где C – чисто мнимое число.
В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук
каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.
На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.
При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 больше ½?
На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.
В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня
может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу,
и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день
соревнований не изменяется.)
Отрезок длиной 3n разбивается на три равные части. Первая и третья из них
называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части,
из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока
не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются
отмеченными точками. Доказать, что для любого целого
k(1k
3n) можно
найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.
Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?
Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел
| a1... | an | ... |
| b1... | bn | ... |
| c1... | cn | ... |
Задачи Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]
Задача 66997 |
|
|
Первая производная бесконечной последовательности $a_1, a_2$, ... – это последовательность $a'_n = a_{n+1} - a_n$ (где $n$ = 1, 2, ...), а её k-я производная – это первая производная её ($k$–1)-й производной
($k$ = 2, 3, ...). Назовём последовательность хорошей, если она и все её производные состоят из положительных чисел. Докажите, что если $a_1, a_2$, ... и $b_1, b_2$, ... – хорошие последовательности, то и $a_1b_1, a_2b_2$, ... – хорошая последовательность.
|
|
Решение |
Задача 78269 |
|
|
Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел
| a1... | an | ... |
| b1... | bn | ... |
| c1... | cn | ... |
|
|
Решение |
Задача 79475 |
|
|
За дядькой Черномором выстроилось чередой бесконечное число богатырей. Доказать, что он может приказать части из них выйти из строя так, чтобы в строю осталось бесконечно много богатырей и все они стояли по росту (не обязательно в порядке убывания роста).
|
|
|
Решение |
Задача 98181 |
|
|
На доску последовательно записываются натуральные числа. На n-м шаге (когда написаны числа a1, a2, ..., an–1) пишется любое число, которое нельзя представить в виде суммы a1k1 + a2k2 + ... + an–1kn–1, где ki – целые неотрицательные числа (на a1 никаких ограничений не накладывается). Доказать, что процесс написания чисел не может быть бесконечным.
|
|
|
Решение |
Задача 98589 |
|
|
В бесконечной последовательности натуральных чисел каждое следующее число получается прибавлением к предыдущему одной из его ненулевых цифр.
Докажите, что в этой последовательности найдётся чётное число.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 79]
