Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Прямая, проходящая через центры вписанной и описанной окружностей треугольника, перпендикулярна одной из его биссектрис. Известно, что отношение расстояния между центрами вписанной и описанной окружностей к радиусу описанной окружности равно h. Найдите углы треугольника.

Вниз   Решение


Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если  ∠A = 2α.

ВверхВниз   Решение


Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение


Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

ВверхВниз   Решение


M1, M2,..., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника A1A2...A6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, M5M6.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = $ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение


Окружность проходит через середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касается катета AC. В каком отношении точка касания делит катет AC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

ВверхВниз   Решение


В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 312]      



Задача 78524

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111263

Темы:   [ Конус ]
[ Правильная пирамида ]
[ Теорема косинусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.
Прислать комментарий     Решение


Задача 102241

Темы:   [ Признаки подобия ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На одной стороне угла O взяты точки K, L, M, а на другой – точки P, Q, R так, что  KQPR,  PLKM,  LRPQ,  QMKL.  Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM окружности до точки O к длине отрезка KP равно 17/6. Найдите величину угла O.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53070

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC в точках M и N соответственно и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если $ \angle$A = $ {\frac{\pi}{4}}$, $ \angle$B = $ {\frac{\pi}{3}}$.

Прислать комментарий     Решение


Задача 108530

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность C1 радиуса 2$ \sqrt{3}$ с центром O1 и окружность C2 радиуса $ \sqrt{3}$ с центром O2 расположены так, что O1O2 = 2$ \sqrt{13}$. Прямая l1 касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая l2— в точках B1 и B2. Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2, A1 $ \in$ C1, B1 $ \in$ C1, A2 $ \in$ C2, B2 $ \in$ C2, точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой O1O2. Через точку B1 проведена прямая l3, перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке A, а прямую l3 — в точке B. Найдите A1A2, B1B2 и стороны треугольника ABB1.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 312]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .