Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 10 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Выпуклый четырёхугольник разбит диагоналями на четыре треугольника, площади которых выражаются целыми числами.
Докажите, что произведение этих чисел не может оканчиваться на 1988.

Вниз   Решение


Стороны треугольника ABC касаются вписанной окружности в точках K, P и M, причём точка M расположена на стороне BC. Найдите угол KMP, если  ∠A = 2α.

ВверхВниз   Решение


Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника.

ВверхВниз   Решение


Каждая из 9 прямых разбивает квадрат на два четырхугольника, площади которых относятся как 2:3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.

ВверхВниз   Решение


По кругу расставлено не менее четырёх неотрицательных чисел, в сумме равных единице.
Докажите, что сумма всех попарных произведений соседних чисел не больше ¼.

ВверхВниз   Решение


M1, M2,..., M6 — середины сторон выпуклого шестиугольника A1A2...A6. Докажите, что существует треугольник, стороны которого равны и параллельны отрезкам M1M2, M3M4, M5M6.

ВверхВниз   Решение


В прямоугольном треугольнике ABC с равными катетами AC и BC на стороне AC как на диаметре построена окружность, пересекающая сторону AB в точке M. Найдите расстояние от вершины B до центра этой окружности, если BM = $ \sqrt{2}$.

ВверхВниз   Решение


Окружность проходит через середины гипотенузы AB и катета BC прямоугольного треугольника ABC и касается катета AC. В каком отношении точка касания делит катет AC.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Посёлок построен в виде квадрата 3 квартала на 3 квартала (кварталы – квадраты со стороной b, всего 9 кварталов). Какой наименьший путь должен пройти асфальтоукладчик, чтобы заасфальтировать все улицы, если он начинает и кончает свой путь в угловой точке A? (Стороны квадрата – тоже улицы).

ВверхВниз   Решение


В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 312]      



Задача 78524

Темы:   [ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Гомотетичные многоугольники ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 3+
Классы: 9,10

В четырёхугольнике ABCD опущены перпендикуляры AM и CP на диагональ BD, а также BN и DQ на диагональ AC.
Доказать, что четырёхугольники ABCD и MNPQ подобны.

Прислать комментарий     Решение

Задача 111263

Темы:   [ Конус ]
[ Правильная пирамида ]
[ Теорема косинусов ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите угол при вершине осевого сечения прямого кругового конуса, если известно, что существуют три образующие боковой поверхности конуса, попарно перпендикулярные друг другу.
Прислать комментарий     Решение


Задача 102241

Темы:   [ Признаки подобия ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Хорды и секущие (прочее) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9

На одной стороне угла O взяты точки K, L, M, а на другой – точки P, Q, R так, что  KQPR,  PLKM,  LRPQ,  QMKL.  Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM окружности до точки O к длине отрезка KP равно 17/6. Найдите величину угла O.

Прислать комментарий     Решение

Задача 53070

Темы:   [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Вписанная в треугольник ABC окружность касается его сторон AC и BC в точках M и N соответственно и пересекает биссектрису BD в точках P и Q. Найдите отношение площадей треугольников PQM и PQN, если $ \angle$A = $ {\frac{\pi}{4}}$, $ \angle$B = $ {\frac{\pi}{3}}$.

Прислать комментарий     Решение


Задача 108530

Темы:   [ Общая касательная к двум окружностям ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Окружность C1 радиуса 2$ \sqrt{3}$ с центром O1 и окружность C2 радиуса $ \sqrt{3}$ с центром O2 расположены так, что O1O2 = 2$ \sqrt{13}$. Прямая l1 касается окружностей в точках A1 и A2, а прямая l2— в точках B1 и B2. Окружности C1 и C2 лежат по одну сторону от прямой l1 и по разные стороны от прямой l2, A1 $ \in$ C1, B1 $ \in$ C1, A2 $ \in$ C2, B2 $ \in$ C2, точки A1 и B1 лежат по разные стороны от прямой O1O2. Через точку B1 проведена прямая l3, перпендикулярная прямой l2. Прямая l1 пересекает прямую l2 в точке A, а прямую l3 — в точке B. Найдите A1A2, B1B2 и стороны треугольника ABB1.

Прислать комментарий     Решение


Страница: << 57 58 59 60 61 62 63 >> [Всего задач: 312]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .