- Книги, журналы, Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В., Ленинградские математические кружки, глава 16. Неравенства
- Книги, журналы, Алфутова Н.Б., Устинов А.В., Алгебра и теория чисел, глава 10. Неравенства
- Кружки, факультативы, спецкурсы, Кружки МЦНМО, 7 класс, 2004/2005, Занятие 4. Неравенства
- Кружки, факультативы, спецкурсы, Кружки МЦНМО, 7 класс, 2004/2005, Занятие 11. Оценки
Подтемы:
- Числовые неравенства. Сравнения чисел. (100 задач)
- Линейные неравенства и системы неравенств (76 задач)
- Квадратичные неравенства (несколько переменных) (43 задачи)
- Классические неравенства (258 задач)
- Системы алгебраических неравенств (12 задач)
- Алгебраические неравенства (прочее) (177 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
Сколько корней на отрезке [0, 1] имеет уравнение 8x(1 – 2x²)(8x4 – 8x² + 1) = 1?
Какие выпуклые фигуры могут содержать прямую?
В магазин привезли 25 ящиков с тремя разными сортами яблок (в каждом ящике яблоки только одного сорта). Докажите, что среди них есть по крайней мере 9 ящиков с яблоками одного и того же сорта.
Докажите, что при нечётном n > 1 справедливо равенство
По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f0(x) = 1,
f1(x) = x,
...
fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и
1.
Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg 4/3; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg 4/3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.
Докажите, что .
Пусть xy + yz + xz = 1. Докажите равенство:
Рассмотрим число Докажите, что оно
а) меньше 1/10; б) меньше 1/12; в) больше 1/15.
Докажите неравенство при любых натуральных n и k.
Положительные числа a, b, c и d удовлетворяют условию 2(a + b + c + d) ≥ abcd. Докажите, что a² + b² + c² + d² ≥ abcd.
Сумма восьми чисел равна 4/3. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?
Пусть a – заданное вещественное число, n – натуральное число, n > 1.
Найдите все такие x, что сумма корней n-й степени из чисел xn – an и 2an – xn равна числу a.
Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?
Задачи Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 590]
Задача 78561 |
|
|
X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа: 1, X, X², X³, X4, ..., Xk (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.
|
|
Решение |
Задача 78563 |
|
|
Все коэффициенты многочлена равны 1, 0 или –1.
Докажите, что все его действительные корни (если они существуют) заключены в отрезке [–2, 2].
|
|
|
Решение |
Задача 78657 |
|
|
Выбрать 100 чисел, удовлетворяющих условиям x1 = 1, 0 ≤ x1 ≤ 2x1, 0 ≤ x3 ≤ 2x2, ..., 0 ≤ x99 ≤ 2x98, 0 ≤ x100 ≤ 2x99, так, чтобы выражение
x1 – x2 + x3 – x4 + ... + x99 – x100 было максимально.
|
|
|
Решение |
Задача 78667 |
|
|
По заданной последовательности положительных чисел q1,..., qn, ... строится последовательность многочленов следующим образом:
f0(x) = 1,
f1(x) = x,
...
fn+1(x) = (1 + qn)xfn(x) – qnfn–1(x).
Докажите, что все вещественные корни n-го многочлена заключены между –1 и
1.
|
|
Решение |
Задача 78700 |
|
|
Можно ли записать в строку 50 чисел так, чтобы сумма любых 17 последовательных чисел была положительна, а сумма любых 10 последовательных чисел была отрицательна?
|
|
|
Решение |
Страница: << 30 31 32 33 34 35 36 >> [Всего задач: 590]
