Страница:
<< 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 165]
В парке шесть узких аллей одинаковой длины, четыре из которых идут по сторонам
квадрата и две по его средним линиям. По этим аллеям мальчик Коля убегает от
папы и мамы. Смогут ли папа и мама поймать Колю, если он бегает втрое быстрее их (все трое всё время видят друг друга)?
В маленьком зоопарке из клетки убежала обезьяна. Её ловят два сторожа. И
сторожа, и обезьяна бегают только по дорожкам. Всего в зоопарке шесть прямолинейных дорожек: три длинные образуют правильный треугольник, три короткие соединяют середины его сторон. В каждый момент времени обезьяна и сторожа видят друг друга. Смогут ли сторожа поймать обезьяну, если обезьяна бегает в 3 раза
быстрее сторожей? (Вначале оба сторожа находятся в одной вершине треугольника,
а обезьяна в другой.)
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
На плоскости даны 2005 точек (никакие три из которых не лежат на одной прямой). Каждые две точки соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает в противном случае. Доказать, что при правильной игре Осёл выиграет.
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 8,9,10
|
Есть доска 1×1000, вначале пустая, и куча из n фишек. Двое ходят по очереди. Первый своим ходом "выставляет" на доску не более 17 фишек по одной на любое свободное поле (он может взять все 17 из кучи, а может часть – из кучи, а часть – переставить на доске). Второй снимает с доски любую серию фишек (серия – это несколько фишек, стоящих подряд, то есть без свободных полей между ними) и кладёт их обратно в кучу. Первый выигрывает, если ему удастся выставить все фишки в ряд без пробелов.
а) Докажите, что при n = 98 первый всегда может выиграть.
б) При каком наибольшем n первый всегда может выиграть?
|
[Паук и бабочка]
|
|
Сложность: 4+
Классы: 7,8,9,10,11
|
Паук в лесу сплёл паутину. Длинные нити привязал к веткам. И в эту паутину залетела бабочка. За один ход бабочка или паук могут передвинуться по отрезку нити в соседнюю точку пересечения нитей; бабочка также может выбраться на конец нити (ветку), если перед этим находилась в соседней точке пересечения.
Они ходят по очереди, начинает бабочка. Если бабочка смогла добраться до веток, она спаслась (это её победа). Если паук добрался до бабочки, он её съедает (и это его победа). Возможен и такой исход, когда никто не побеждает, а игра длится
бесконечно.
а) Чем закончится игра в ситуации, изображённой на рисунке? (У паутины четыре кольца и семь радиусов.
б) Чем закончится игра, если колец три, а радиусов семь?
в) Чем закончится игра, если колец четыре, а радиусов десять?
г) Разберите общий случай:
K ≥ 2 колец и
R ≥ 3 радиусов.
Страница:
<< 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 165]
Тема:
Все темы
>>
Логика и теория множеств
>>
Теория алгоритмов
>>
Теория игр
>>
Теория игр (прочее)
Решение 
