ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

   Решение

Задачи

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 127]      



Задача 64589

Темы:   [ Арифметическая прогрессия ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Найдите все возрастающие арифметические прогрессии с конечным числом членов, сумма которых равна 1, а каждый член имеет вид 1/k, где k натуральное.

Прислать комментарий     Решение

Задача 65251

Темы:   [ Четность и нечетность ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11

Пусть  n > 1  – натуральное число. Выпишем дроби  1/n, 2/n, ..., n–1/n  и приведём каждую к несократимому виду; сумму числителей полученных дробей обозначим через  f(n). При каких натуральных  n > 1  числа  f(n) и  f(2015n) имеют разную чётность?

Прислать комментарий     Решение

Задача 98093

Темы:   [ Инварианты ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Произведения и факториалы ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Фомин Д.

На доске выписаны числа 1, ½, ⅓, ..., 1/100. Выбираем из написанных на доске два произвольных числа a и b, стираем их и пишем на доску число
a + b + ab.  Такую операцию проделываем 99 раз, пока не останется одно число. Какое это число? Найдите его и докажите, что оно не зависит от последовательности выбора чисел.

Прислать комментарий     Решение

Задача 60503

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Обыкновенные дроби ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

При каких целых n сократимы дроби
  а)   ;   б)  ?

Прислать комментарий     Решение

Задача 78839

Темы:   [ Ряд Фарея ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Индукция (прочее) ]
[ Теорема Пика ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Рассмотрим все рациональные числа между нулём и единицей, знаменатели которых не превосходят n, расположенные в порядке возрастания (ряд Фарея). Пусть a/b и c/d – какие-то два соседних числа (дроби несократимы). Доказать, что  |bc – ad| = 1.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 16 17 18 19 20 21 22 >> [Всего задач: 127]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .