Каталог по темам

Выбрано 14 задач

Все члены бесконечной арифметической прогрессии – натуральные числа. В каждом члене удалось подчеркнуть одну или несколько подряд идущих цифр так, что в первом члене оказалась подчёркнута цифра 1, во втором – 2,..., в 23-м – цифры 2 и 3 подряд, и так далее (для любого натурального n в n-м члене подчёркнутые цифры образовали число n). Докажите, что разность прогрессии – степень числа 10.

Решение

Автор: Васильев Н.Б.

Из последовательности a, a + d, a + 2d, a + 3d, ..., являющейся бесконечной арифметической прогрессией, где d не равно 0, тогда и только тогда можно выбрать подпоследовательность, являющуюся бесконечной геометрической прогрессией, когда отношение ^a/_d рационально. Докажите это.

Решение

Расположить на прямой систему отрезков длины 1, не имеющих общих концов и общих точек так, чтобы бесконечная арифметическая прогрессия с любой разностью и любым начальным членом имела общую точку с некоторым отрезком системы.

Решение

Автор: Жуков Г.

Дана бесконечно возрастающая арифметическая прогрессия. Первые её несколько членов сложили и сумму объявили первым членом новой последовательности, затем сложили следующие несколько членов исходной прогрессии и сумму объявили вторым членом новой последовательности, и так далее. Могла ли новая последовательность оказаться геометрической прогрессией?

Решение

Дана прямоугольная трапеция. Окружность, построенная на меньшей боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны и делит её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности.

Решение

Авторы: Бугаенко В.О., Токарев С.И.

Дана арифметическая прогрессия (с разностью, отличной от нуля), составленная из натуральных чисел, десятичная запись которых не содержит цифры 9.
а) Докажите, что число её членов меньше 100.
б) Приведите пример такой прогрессии с 72 членами.
в) Докажите, что число членов всякой такой прогрессии не больше 72.

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
ab cos $\gamma$ + bc cos $\alpha$ + ca cos $\beta$ = (a² + b² + c²)/2.

Решение

Докажите, что если ${\frac{1}{b}}$ + ${\frac{1}{c}}$ = ${\frac{1}{l_a}}$ , то $\angle$ A = 120^o.

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
а) ctg( $\alpha$ /2) + ctg( $\beta$ /2) + ctg( $\gamma$ /2) = p/r;
б) tg( $\alpha$ /2) + tg( $\beta$ /2) + tg( $\gamma$ /2) = $\left(\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right.$ ${\frac{a}{r_a}}$ + ${\frac{b}{r_b}}$ + ${\frac{c}{r_c}}$ $\left.\vphantom{\frac{a}{r_a}+\frac{b}{r_b}+\frac{c}{r_c}}\right)$ /2.

Решение

Найдите числа, равные удвоенной сумме своих цифр.

Решение

Автор: Произволов В.В.

Существуют ли два многоугольника, у которых все вершины общие, но нет ни одной общей стороны?

Решение

В треугольнике ABC высота AH равна медиане BM. Найдите угол MBC.

Решение

α, β и γ - углы треугольника ABC. Докажите, что
tg $\alpha$ + tg $\beta$ + tg $\gamma$ = tg $\alpha$ tg $\beta$ tg $\gamma$ .

Решение

В пространстве расположено n отрезков, никакие три из которых не параллельны одной плоскости. Для любых двух отрезков прямая, соединяющая их середины, перпендикулярна обоим отрезкам. При каком наибольшем n это возможно?

Решение

Задача 87013

Задача 35746

Задача 64956

Задача 79342

Задача 87011