Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 14 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $ \angle$A = $ \angle$C = $ \angle$E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Вниз   Решение


Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что  1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.

ВверхВниз   Решение


Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

ВверхВниз   Решение


Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

ВверхВниз   Решение


На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.

ВверхВниз   Решение


Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

ВверхВниз   Решение


Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

ВверхВниз   Решение


Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если  |x1| > |x2|?

ВверхВниз   Решение


Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что для любых чисел  a1, ..., a1987  и положительных чисел  b1,..., b1987  справедливо неравенство

+ ... + .

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, для которых $ \angle$C > $ \angle$B и треугольник ABC:

а) остроугольный;

б) тупоугольный.

ВверхВниз   Решение


a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
  1)  a + b < c + d;
  2)  (a + b)cd < ab(c + d);
  3)  (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

ВверхВниз   Решение


Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 222]      



Задача 35574

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Можно ли расставить по кругу семь целых неотрицательных чисел так, чтобы сумма каких-то трёх расположенных подряд чисел была равна 1, каких-то трёх подряд расположенных – 2, ... , каких-то трёх подряд расположенных – 7?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60433

 [Двоечники]
Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10

В классе имеется a1 учеников, получивших в течение года хотя бы одну двойку, a2 учеников, получивших не менее двух двоек, ..., ak учеников, получивших не менее k двоек. Сколько всего двоек в этом классе? (Предполагается, что ни у кого нет более k двоек.)

Прислать комментарий     Решение

Задача 79607

Тема:   [ Подсчет двумя способами ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9

Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.

Прислать комментарий     Решение

Задача 88268

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Степень вершины ]
Сложность: 3
Классы: 5,6,7

На кошачьей выставке каждый посетитель погладил ровно трех кошек. При этом оказалось, что каждую кошку погладили ровно три посетителя.

Докажите, что посетителей было ровно столько же, сколько кошек.

Прислать комментарий     Решение

Задача 97981

Темы:   [ Подсчет двумя способами ]
[ Четность и нечетность ]
[ Куб ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 7,8,9,10

В каждой вершине куба стоит число +1 или –1. В центре каждой грани куба поставлено число, равное произведению чисел в вершинах этой грани.
Может ли сумма получившихся 14 чисел оказаться равной 0?

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 222]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .