Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
|
|
|
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11
|
В магическом квадрате n×n, составленном из чисел 1, 2, ..., n², центры каждых двух клеток соединили вектором в направлении от большего числа к меньшему. Докажите, что сумма всех полученных векторов равна нулю. (Магическим называется клетчатый квадрат, в клетках которого записаны
числа так, что суммы чисел во всех его строках и столбцах равны.)
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди
соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных
направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех
нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен,
а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?
|
|
|
Сложность: 8+
Классы: 9,10,11
|
Медианы треугольника ABC разрезают его на 6 треугольников. Докажите, что
центры описанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности.
|
|
|
Сложность: 9
Классы: 9,10,11
|
а) На плоскости даны n векторов, длина каждого из которых равна 1. Сумма всех n векторов равна нулевому вектору. Докажите, что векторы можно занумеровать так, чтобы при всех k = 1, 2, ..., n выполнялось следующее условие: длина суммы первых k векторов не превышает 3.
б) Докажите аналогичное утверждение для n векторов с суммой 0, длина каждого из которых не превосходит 1.
в) Можно ли заменить число 3 в пункте а) меньшим? Постарайтесь улучшить оценку и в пункте б).
|
|
|
Сложность: 3
Классы: 10,11
|
На ребрах произвольного тетраэдра указали направления. Может ли сумма полученных таким образом шести векторов оказаться равной нуль-вектору?
Страница: << 1 2 3 4 5 >> [Всего задач: 24]
Фильтр
