Версия для печати
Убрать все задачи

---

Последовательность  x₀, x₁, x₂, ...  определена следующими условиями:  x₀ = 1,  x₁ = λ,  для любого  n > 1  выполнено равенство

Здесь α, β, λ – заданные положительные числа. Найдите x_n и выясните, при каком n величина x_n наибольшая.

   Решение

---

Пирог имеет форму правильного n-угольника, вписанного в окружность радиуса 1. Из середин сторон проведены прямолинейные надрезы длины 1. Доказать, что при этом от пирога будет отрезан какой-нибудь кусок.

   Решение

---

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 65321

Темы:   [ Математическая статистика ] [ Средние величины ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Точку O, лежащую внутри треугольника ABC, соединили отрезками с вершинами треугольника. Докажите, что дисперсия набора углов AOB, AOC и BOC меньше чем
  а) ^10π²/₂₇;
  б) ^2π²/₉.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98296

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Теорема косинусов ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Положительные числа a, b, c таковы, что  a² + b² – ab = c².  Докажите, что (a – c)(b – c) ≤ 0.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98455

Темы:   [ Неравенства для площади треугольника ] [ Площадь треугольника (через высоту и основание) ] [ Монотонность, ограниченность ] [ Квадратичные неравенства (несколько переменных) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Пусть ABC – остроугольный треугольник, C' и A' – произвольные точки на сторонах AB и BC соответственно, B' – середина стороны AC.
  а) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' не больше половины площади треугольника ABC.
  б) Докажите, что площадь треугольника A'B'C' равна четверти площади треугольника ABC тогда и только тогда, когда хотя бы одна из точек A', C' совпадает с серединой соответствующей стороны.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 [Всего задач: 43]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями