Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка Х расположена на диаметре АВ окружности радиуса R. Точки K и N лежат на окружности в одной полуплоскости относительно АВ,
а  ∠KXA = ∠NXB = 60°.  Найдите длину отрезка KN.

   Решение

---

Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по х очков.
Каково наибольшее возможное значение х? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)

   Решение

---

Внутри выпуклого многогранника выбрана точка P и несколько прямых  l₁, ..., l_n,  проходящих через P и не лежащих в одной плоскости. Каждой грани многогранника поставим в соответствие ту из прямых  l₁, ..., l_n,  которая образует наибольший угол с плоскостью этой грани (если таких прямых несколько, выберем любую из них). Докажите, что найдётся грань, которая пересекается с соответствующей ей прямой.

   Решение

---

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

   Решение

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 68]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109944

Темы:   [ Системы точек ] [ Экстремальные свойства окружности и криволинейных фигур ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Докажите, что из любого конечного множества точек на плоскости можно так удалить одну точку, что оставшееся множество можно разбить на две части меньшего диаметра. (Диаметр – это максимальное расстояние между точками множества.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109688

Темы:   [ Выпуклая оболочка и опорные прямые (плоскости) ] [ Выпуклые многоугольники ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 5+ Классы: 8,9,10,11

Докажите, что три выпуклых многоугольника на плоскости нельзя пересечь одной прямой тогда и только тогда, когда каждый многоугольник можно отделить от двух других прямой (т.е. существует прямая такая, что этот многоугольник и два остальных лежат по ее разные стороны).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 109778

Темы:   [ Связность и разложение на связные компоненты ] [ Обход графов ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

В стране 100 городов, некоторые пары городов соединены дорогами. Для каждых четырёх городов существуют хотя бы две дороги между ними. Известно, что не существует маршрута, проходящего по каждому городу ровно один раз. Докажите, что можно выбрать два города таким образом, чтобы каждый из оставшихся городов был соединен дорогой хотя бы с одним из двух выбранных городов.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98349

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Играют двое, ходят по очереди. Первый ставит на плоскости красную точку, второй в ответ ставит на свободные места 10 синих точек. Затем опять первый ставит на свободное место красную точку, второй ставит на свободные места 10 синих, и т.д. Первый считается выигравшим, если какие-то три красные точки образуют правильный треугольник. Может ли второй ему помешать?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115863

Темы:   [ Теорема косинусов ] [ Скалярное произведение. Соотношения ] [ Векторы (прочее) ] [ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ] [ Разрезания на параллелограммы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Дано множество точек O, A₁, A₂, ..., A_n на плоскости. Расстояние между любыми двумя из этих точек является квадратным корнем из натурального числа. Докажите, что существуют такие векторы x и y, что для любой точки A_i выполняется равенство     где k и l – некоторые целые числа.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 8 9 10 11 12 13 14 >> [Всего задач: 68]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями