Фильтр
Выбрано 12 задач Убрать все задачи
Вычислить с пятью десятичными знаками (то есть с точностью до
0,00001) произведение:
Пусть R и r — радиусы описанной и вписанной
окружностей треугольника. Докажите, что R2r, причем
равенство достигается лишь для равностороннего треугольника.
Решите уравнение: x(x + 1) = 2014·2015.
Определить отношение двух чисел, если отношение их среднего арифметического к среднему геометрическому равно 25 : 24.
Даны два набора векторов
a1,...,an и
b1,...,bm, причем сумма длин проекций векторов
первого набора на любую прямую не больше суммы длин проекций векторов
второго набора на ту же прямую. Докажите, что сумма
длин векторов первого набора не больше суммы длин
векторов второго набора.
Пусть M — центр масс n-угольника
A1...An;
M1,..., Mn — центры масс (n - 1)-угольников,
полученных из этого n-угольника выбрасыванием вершин
A1,...,
An соответственно. Докажите, что многоугольники
A1...An
и
M1...Mn гомотетичны.
Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).
Докажите, что для любых четырёх точек A, B, C, D, не лежащих в одной плоскости, выполнено неравенство AB·CD + AC·BD > AD·BC.
Докажите, что
rrc c2/4.
Известно, что если поверхность некоторого тетраэдра ABCD разрезать вдоль рёбер AD , BD и CD , то его развёрткой на плоскость ABC будет квадрат со стороной a . Найдите объём тетраэдра.
На каждой стороне треугольника ABC построено по квадрату во внешнюю сторону (пифагоровы штаны). Оказалось, что внешние вершины всех квадратов лежат на одной окружности. Доказать, что треугольник ABC — равнобедренный.
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
Задачи Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]
Задача 57435 |
|
|
Докажите, что
rrc c2/4.
|
|
Решение |
Задача 78558 |
|
|
Окружности O1 и O2 лежат внутри треугольника и касаются друг друга извне, причём окружность O1 касается двух сторон треугольника, а окружность O2 -- тоже касается двух сторон треугольника, но не тех же, что O1. Доказать, что сумма радиусов этих окружностей больше радиуса окружности, вписанной в треугольник.
|
|
Решение |
Задача 98611 |
|
В треугольнике ABC взяли точку M так, что что радиусы описанных окружностей треугольников AMC, BMC и BMA не меньше радиуса описанной окружности треугольника ABC. Докажите, что все четыре радиуса равны.
|
|
|
Решение |
Задача 66355 |
|
Пусть R1, R2 и R3 – радиусы трёх окружностей, каждая из которых проходит через вершину треугольника и касается противолежащей стороны.
Докажите, что 1/R1 + 1/R2 + 1/R3 ≤ 1/r, где r – радиус вписанной окружности этого треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 55233 |
|
Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.
|
|
|
Решение |
Страница: 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 27]
