ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



Задача 111576

Темы:   [ Неравенства для углов треугольника ]
[ Неравенства с медианами ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sin α+ sin β+ sin γ>2 .
Прислать комментарий     Решение


Задача 57446

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Синусы и косинусы углов треугольника ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10

а)  1 < cos$ \alpha$ + cos$ \beta$ + cos$ \gamma$ $ \leq$ 3/2;
б)  1 < sin($ \alpha$/2) + sin($ \beta$/2) + sin($ \gamma$/2) $ \leq$ 3/2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 109654

Темы:   [ Поворот на $90^\circ$ ]
[ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]
[ Наименьшее или наибольшее расстояние (длина) ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .
Прислать комментарий     Решение


Задача 56804

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Длины сторон (неравенства) ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Вписанные и описанные многоугольники ]
[ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]
Сложность: 5
Классы: 9,10

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.
Прислать комментарий     Решение


Задача 111266

Темы:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ]
[ Неравенства для углов треугольника ]
[ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]
[ Тригонометрические неравенства ]
[ Теорема синусов ]
[ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Неравенства с медианами ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 [Всего задач: 25]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .