Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]

Задача 77874

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Неравенства для элементов треугольника (прочее)	]
	[	Прямая Эйлера и окружность девяти точек	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Доказать, что в любом треугольнике имеет место неравенство: R $\ge$ 2r (R и r — радиусы описанного и вписанного кругов соответственно), причем равенство R = 2r имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 111576

Темы:	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с медианами	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sin α+ sin β+ sin γ>2 .

Прислать комментарий Решение

Задача 57446

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Симметричные неравенства для углов треугольника	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Синусы и косинусы углов треугольника	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10

а) 1 < cos $\alpha$ + cos $\beta$ + cos $\gamma$ $\leq$ 3/2;
б) 1 < sin( $\alpha$ /2) + sin( $\beta$ /2) + sin( $\gamma$ /2) $\leq$ 3/2.

Прислать комментарий Решение

Задача 109654

Темы:	[	Поворот на $90^\circ$	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Наименьшее или наибольшее расстояние (длина)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Храбров А.

Выпуклый многоугольник M переходит в себя при повороте на угол 90^o . Докажите, что найдутся два круга с отношением радиусов, равным , один из которых содержит M , а другой содержится в M .

Прислать комментарий Решение

Задача 56804

Темы:	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности)	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Свойства частей, полученных при разрезаниях	]

Сложность: 5
Классы: 9,10

Автор: Новиков И.Д.

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 >> [Всего задач: 26]