Версия для печати
Убрать все задачи

---

Точка M равноудалена от трёх прямых AB , BC и AC . Докажите, что ортогональная проекция точки M на плоскость ABC является центром вписанной окружности либо одной из вневписанных окружностей треугольника ABC .

   Решение

---

Приведите пример такого квадратного трехчлена $P(x)$, что при любом $x$ справедливо равенство $P(x)+P(x+1)+\dots + P(x+10)=x^2$.

   Решение

---

Стороны треугольника равны 10, 10, 12. Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 116966

Темы:   [ Теория игр (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4- Классы: 6,7,8

Лиса Алиса и кот Базилио вырастили на дереве 20 фальшивых купюр и теперь вписывают в них семизначные номера. На каждой купюре есть 7 пустых клеток для цифр. Базилио называет по одной цифре "1" или "2" (других он не знает), а Алиса вписывает названную цифру в любую свободную клетку любой купюры и показывает результат Базилио. Когда все клетки заполнены, Базилио берет себе как можно больше купюр с разными номерами (из нескольких с одинаковым номером он берет лишь одну), а остаток забирает Алиса. Какое наибольшее количество купюр может получить Базилио, как бы ни действовала Алиса?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32012

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Принцип Дирихле (прочее) ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

В колоде 16 карт, пронумерованных сверху вниз. Разрешается снять часть колоды сверху, после чего снятую и оставшуюся части колоды, не переворачивая "врезать" друг в друга. Может ли случиться, что после нескольких таких операций карты окажутся пронумерованными снизу вверх? Если да, то за какое наименьшее число операций это может произойти?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60912

Темы:   [ Теория алгоритмов (прочее) ] [ Двоичная система счисления ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Ханойская башня и двоичная система счисления. Рассмотрим два процесса, каждый из которых состоит из 2⁸ - 1 шагов. Первый — это процесс решения головоломки ``Ханойская башня'' (смотри задачу 1.42) при помощи оптимального алгоритма. Второй — это процесс прибавления единицы, который начинается с 0 и заканчивается числом 2⁸ - 1. Опишите связь между этими двумя процессами.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 60913

Темы:   [ Рекуррентные соотношения (прочее) ] [ Двоичная система счисления ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Задача Иосифа Флавия. n человек выстраиваются по кругу и нумеруются числами от 1 до n. Затем из них исключается каждый второй до тех пор, пока не останется только один человек. Например, если n = 10, то порядок исключения таков: 2, 4, 6, 8, 10, 3, 7, 1, 9, так что остается номер 5. Для данного n будем обозначать через J(n) номер последнего оставшегося человека. Докажите, что
а) J(2n) = 2J(n) - 1;
б) J(2n + 1) = 2J(n) + 1;
в) если n = (1b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀)₂, то J(n) = (b_{m - 1}b_{m - 2}...b₁b₀1)₂.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98352

Темы:   [ Взвешивания ] [ Двоичная система счисления ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Имеется набор из 20 гирь, с помощью которых можно взвесить любой целый вес от 1 до 1997 г (гири кладутся на одну чашку весов, измеряемый вес – на другую). Каков минимально возможный вес самой тяжелой гири такого набора, если:
  а) веса гирь набора все целые,
  б) веса не обязательно целые?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 54]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями