Страница:
<< 144 145 146 147
148 149 150 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что если квадратное уравнение с целыми коэффициентами имеет корень
u = [a; 
], то вторым корнем будет число
|
[Алгоритм Евклида для многочленов]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Пусть P(x) и Q(x) – многочлены, причём Q(x) не равен нулю тождественно и P(x) не делится на Q(x). Докажите, что при некотором s ≥ 1 существуют такие многочлены A0(x), A1(x), ..., As(x) и R1(x), ..., Rs(x), что degQ(x) > degR1(x) > degR2(x) > ... > degRs(x) ≥ 0,
P(x) = Q(x)A0(x) + R1(x),
Q(x) = R1(x)A1(x) + R2(x),
R1(x) = R2(x)A2(x) + R3(x),
...
Rs–2(x) = Rs–1(x)As–1(x) + Rs(x),
Rs–1(x) = Rs(x)As(x)
и (P(x), Q(x)) = Rs(x).
|
[Формула Тейлора для многочленов]
|
|
Сложность: 4-
Классы: 10,11
|
Докажите, что любой многочлен P(x) степени n можно единственным образом разложить по степеням x – c:
P(
x) =
ck(
x – c)
k,
причем коэффициенты ck могут быть найдены по формуле
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Решите уравнения:
a) x4 + x3 – 3a2x2 – 2a2x + 2a4 = 0;
б) x3 – 3x = a3 + a–3.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
|
Решите системы:
а) 
б) x(y + z) = 2, y(z + x) = 2, z(x + y) = 3;
в) x2 + y2 + x + y = 32, 12(x + y) = 7xy;
г) 
д) x + y + z = 1, xy + xz + yz = –4, x3 + y3 + z3 = 1;
е) x2 + y2 = 12, x + y + xy = 9.
Страница:
<< 144 145 146 147
148 149 150 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
