Страница:
<< 166 167 168 169
170 171 172 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Найдите хоть одно вещественное число $A$ со свойством: для любого натурального $n$ расстояние от верхней целой части числа $A^n$ до ближайшего квадрата целого числа равно 2. (Верхняя целая часть числа $x$ – наименьшее целое число, не меньшее $x$.)
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
Если сумма дробей 
равна 0, то сумма дробей 
тоже равна 0. Докажите это.
|
[Числа Стирлинга]
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11
|
Обозначим через Tk(n) сумму произведений по k чисел от 1 до n. Например, T2(4) = 1·2 + 1·3 + 1·4 + 2·3 + 2·4 + 3·4.
а) Найдите формулы для T2(n) и T3(n).
б) Докажите, что Tk(n) является многочленом от n степени 2k.
в) Укажите метод нахождения многочленов Tk(n) при k = 2, 3, 4, ... и примените его для отыскания многочленов T4(n) и T5(n).
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Докажите, что если числа a1, a2, ..., am отличны от нуля и для любого целого k = 0, 1, ..., n (n < m – 1) выполняется равенство:
a1 + a2·2k + a3·3k + ... + ammk = 0, то в последовательности a1, a2, ..., am есть по крайней мере n + 1 пара соседних чисел, имеющих разные знаки.
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 9,10,11
|
Сколькими способами числа 20, 21, 2², ..., 22005 можно разбить на два непустых множества A и B так, чтобы уравнение x² – S(A)x + S(B) = 0, где S(M) – сумма чисел множества M, имело целый корень?
Страница:
<< 166 167 168 169
170 171 172 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
