Каталог по темам

Задачи

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 984]

Темы:	[	Теорема косинусов	]
	[	Исследование квадратного трехчлена	]
	[	Длины сторон (неравенства)	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Возрастание и убывание. Исследование функций	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10,11

Дан треугольник со сторонами a, b и c, причём a ≥ b ≥ c; x, y и z – углы некоторого другого треугольника. Докажите, что

bc + ca – ab < bc cos x + ca cos y + ab cos z ≤ ½ (a² + b² + c²).

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Разложение на множители	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 2+
Классы: 6,7,8

Докажите, что из 52 целых чисел всегда найдутся два, разность квадратов которых делится на 100.

Темы:	[	Простые числа и их свойства	]
	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

а) Докажите, что p² – 1 делится на 24, если p – простое число и p > 3.
б) Докажите, что p² – q² делится на 24, если p и q – простые числа, большие 3.

Темы:	[	Алгебраические неравенства (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8

n – натуральное число. Докажите, что 2ⁿ ≥ 2n.

Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Разложение на множители	]

Сложность: 2+
Классы: 7,8,9

Докажите, что 1 + 2⁷⁷ + 3⁷⁷ + ... + 1996⁷⁷ делится на 1997.

Страница: << 167 168 169 170 171 172 173 >> [Всего задач: 984]