Страница:
<< 164 165 166 167
168 169 170 >> [Всего задач: 984]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10
|
Дана функция 
, где трёхчлены x² + ax + b и x² + cx + d не имеют общих корней. Докажите, что следующие два утверждения равносильны:
1) найдётся числовой интервал, свободный от значений функции;
2) f(x) представима в виде: f(x) = f1(f2(...fn–1(fn(x))...)), где каждая из функций fi(x) есть функция одного из видов:
kix + bi, x–1, x².
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11
|
У Феди есть три палочки. Если из них нельзя сложить треугольник, Федя укорачивает самую длинную из палочек на сумму длин двух других. Если длина
палочки не обратилась в нуль и треугольник снова нельзя сложить, то Федя
повторяет операцию, и т. д. Может ли этот процесс продолжаться бесконечно?
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 8,9,10
|
Положительные числа х1, ..., хk удовлетворяют неравенствам 
а) Докажите, что k > 50.
б) Построить пример таких чисел для какого-нибудь k.
в) Найти минимальное k, для которого пример возможен.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 7,8,9,10
|
Натуральные числа x и y таковы, что 2x² – 1 = y15. Докажите, что если x > 1, то x делится на 5.
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11
|
На оси Ox произвольно расположены различные точки X1, ..., Xn, n ≥ 3. Построены все параболы, задаваемые приведёнными квадратными трёхчленами и пересекающие ось Ox в данных точках (и не пересекающие ееё в других точках). Пусть y = f1(x), ..., y = fm(x) – соответствующие параболы. Докажите, что парабола y = f1(x) + ... + fm(x) пересекает ось Ox в двух точках.
Страница:
<< 164 165 166 167
168 169 170 >> [Всего задач: 984]
Фильтр
