Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109710

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Индукция в геометрии ] [ Системы отрезков, прямых и окружностей ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Дана последовательность неотрицательных чисел a₁ , a₂ , a_n . Для любого k от 1 до n обозначим через m_k величину

_l=1,2,..,k .
Докажите, что при любом α>0 число тех k , для которых m_k>α , меньше, чем a₁+a₂+...+a_n α.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57047

Темы:   [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Теорема Птолемея ] [ Тождественные преобразования (тригонометрия) ] [ Теорема синусов ]

Сложность: 5+ Классы: 9,10,11

Пусть  $\alpha =\frac{\pi}{7}$. Докажите, что  $\frac{1}{\sin\alpha }=\frac{1}{\sin 2\alpha }+\frac{1}{\sin 3\alpha }$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 86482  [Караван верблюдов]

Темы:   [ Задачи на движение ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Графики и ГМТ на координатной плоскости ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]

Сложность: 3+ Классы: 7,8

По пустыне равномерно движется караван верблюдов длиной в 1 км. Всадник проехал от конца каравана к началу и вернулся к концу каравана. За это время караван прошел 1 км. Какой путь проехал всадник, если скорость его была постоянной?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 61510

Темы:   [ Раскладки и разбиения ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

На доске написано n натуральных чисел. Пусть a_k – количество тех из них, которые больше k. Исходные числа стерли и вместо них написали все положительные a_k. Докажите, что если с новыми числами сделать то же самое, то на доске окажется исходный набор чисел.
Например, для чисел 5, 3, 3, 2, получается следующая цепочка   (5, 3, 3, 2)  →  (4, 4, 3, 1, 1)  →  (5, 3, 3, 2).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67047

Темы:   [ Инварианты и полуинварианты (прочее) ] [ Геометрические интерпретации в алгебре ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Дан отрезок  [0, 1].  За ход разрешается разбить любой из имеющихся отрезков точкой на два новых отрезка и записать на доску произведение длин этих двух новых отрезков.
Докажите, что ни в какой момент сумма чисел на доске не превысит ½.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 52]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями