ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      



Задача 74220

Темы:   [ Теория множеств (прочее) ]
[ Двоичная система счисления ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Федоров А.

Два подмножества множества натуральных чисел называют конгруэнтными, если одно получается из другого сдвигом на целое число. (Например, множества чётных и нечётных чисел конгруэнтны.) Можно ли разбить множество натуральных чисел на бесконечное число (не пересекающих друг друга) бесконечных конгруэнтных подмножеств?
Прислать комментарий     Решение


Задача 109198

Темы:   [ Комбинаторика орбит ]
[ Классическая комбинаторика (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Разбиения на пары и группы; биекции ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Скажем, что колода из 52 карт сложена правильно, если каждая пара лежащих рядом карт совпадает по масти или достоинству, то же верно для верхней и нижней карты, и наверху лежит туз пик. Докажите, что число способов сложить колоду правильно
  а) делится на 12!;
  б) делится на 13!.

Прислать комментарий     Решение

Задача 76508

Темы:   [ Системы алгебраических нелинейных уравнений ]
[ Методы решения задач с параметром ]
[ Графики и ГМТ на координатной плоскости ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 3+
Классы: 10,11

Система уравнений второго порядка
   x² – y² = 0,
   (x – a)² + y² = 1
имеет, вообще говоря, четыре решения. При каких значениях a число решений системы уменьшается до трёх или до двух?

Прислать комментарий     Решение

Задача 60489

Темы:   [ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Принцип Дирихле (прочее) ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
[ Уравнения в целых числах ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10

a, b, c – целые числа; a и b отличны от нуля.
Докажите, что уравнение  ax + by = c  имеет решения в целых числах тогда и только тогда, когда c делится на  d = НОД(a, b).

Прислать комментарий     Решение

Задача 60525

Темы:   [ Уравнения в целых числах ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Центральная симметрия помогает решить задачу ]
[ Геометрические интерпретации в алгебре ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами  (x, y),  лежащие в полосе  0 ≤ x ≤ b – 1.  Каждой такой точке припишем целое число  N(x, y) = ax + by.
  а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка  (x, y)  (0 ≤ x ≤ b – 1),  для которой  N(x, y) = c.
  б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение  ax + by = c  не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .