Каталог по темам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]

Задача 60525

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Пусть a и b – натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами (x, y), лежащие в полосе 0 ≤ x ≤ b – 1. Каждой такой точке припишем целое число N(x, y) = ax + by.
а) Докажите, что для каждого натурального c существует ровно одна точка (x, y) (0 ≤ x ≤ b – 1), для которой N(x, y) = c.
б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее c, для которого уравнение ax + by = c не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид
c = ab – a – b.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61348

Темы:	[	Системы линейных уравнений	]
	[	Методы решения задач с параметром	]
	[	Теорема Безу. Разложение на множители	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Исследуйте системы уравнений:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

Прислать комментарий

Решение

Задача 73714

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Итерации	]
	[	Неравенства для углов треугольника	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Сжимающие отображения и неподвижные точки	]
	[	Композиции движений. Теорема Шаля	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Васильев Н.Б.

Для каждого непрямоугольного треугольника T обозначим через T₁ треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T; через T₂ – треугольник, вершинами которого служат основания высот треугольника T₁; аналогично определим треугольники T₃, T₄ и так далее. Каким должен быть треугольник T, чтобы
а) треугольник T₁ был остроугольным?
б) в последовательности T₁, T₂, T₃, ... встретился прямоугольный треугольник T_n (и таким образом треугольник T_n+1 не определён)?
в) треугольник T₃ был подобен треугольнику T?
г) Для каждого натурального числа n выясните, сколько существует неподобных друг другу треугольников T, для которых треугольник T_n подобен треугольнику Т.

Прислать комментарий

Решение

Задача 85241

Темы:	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные проекции	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Комплексные числа помогают решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Докажите следующие равенства:

а)

б)

в)

Прислать комментарий

Решение

Задача 65342

Темы:	[	Дискретное распределение	]
	[	Средние величины	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Суммы числовых последовательностей и ряды разностей	]
	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n носков. Среди них – два любимых носка Рассеянного Учёного. Носки загорожены сохнущей простыней, поэтому Учёный их не видит, и достаёт по одному носку на ощупь. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых Учёным к моменту, когда у него окажутся оба любимых носка.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 53]