Каталог по темам

Задачи

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 704]

Задача 61331

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Цепные (непрерывные) дроби	]
	[	Индукция (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Предположим, что цепные дроби сходятся. Согласно задаче 61330, они будут сходиться к корням многочлена x² – px + q = 0. С другой стороны к тем же корням будут сходиться и последовательности, построенные по методу Ньютона (см. задачу 61328): x_n+1 = x_n – = . Докажите, что если x₀ совпадает с нулевой подходящей дробью цепной дроби α или β, то числа x₁, x₂, ... также будут совпадать с подходящими дробями к α или β.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61338

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
Темы:	[	Предел последовательности, сходимость	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Последовательность чисел a₁, a₂, a₃,...задается условиями

a₁ = 1, a_{n + 1} = a_n + $\displaystyle {\dfrac{1}{a_n^2}}$ (n $\displaystyle \geqslant$ 0).

Докажите, что
а) эта последовательность неограничена;
б) a₉₀₀₀ > 30;
в) найдите предел $\lim\limits_{n\to\infty}^{}$ ${\dfrac{a_n}{\sqrt[3]n}}$ .

Прислать комментарий

Решение

Задача 61482

Темы:	[	Линейные рекуррентные соотношения	]
Темы:	[	Многочлены (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Как будет выглядеть формула n-го члена для рекуррентной последовательности k-го порядка, если
a) характеристическое уравнение имеет простые корни x₁,..., x_k, отличные от нуля;
б) характеристическое уравнение имеет отличные от нуля корни x₁, ..., x_m с кратностями α₁, ..., α_m соответственно?
Определения, связанные с рекуррентными последовательностями, смотри в справочнике.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66150

Темы:	[	Последовательности (прочее)	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Берлов С.Л.

Существует ли такая бесконечная возрастающая последовательность a₁, a₂, a₃, ... натуральных чисел, что сумма любых двух различных членов последовательности взаимно проста с суммой любых трёх различных членов последовательности?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67157

Темы:	[	Арифметическая прогрессия	]
Темы:	[	Арифметика остатков (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Шаповалов А.В.

Петя прибавил к натуральному числу $N$ натуральное число $M$ и заметил, что сумма цифр у результата та же, что и у $N$. Тогда он снова прибавил $M$ к результату, потом – ещё раз, и т. д. Обязательно ли он когда-нибудь снова получит число с той же суммой цифр, что и у $N$?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 64 65 66 67 68 69 70 >> [Всего задач: 704]