Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 210]
|
|
|
Сложность: 5-
Классы: 10,11
|
Для каждого натурального n > 1 существует такое число cn, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа x + π/n, синуса числа
x + 2π/n, ..., наконец, синуса числа x + (n – 1)π/n равно произведению числа cn на синус числа nx. Докажите это и найдите величину cn.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Упростите выражения:
а)
sin
sin
sin
...sin
;
б)
sin
sin
sin
...sin
;
в)
cos
cos
cos
...cos
;
г)
cos
cos
cos
...cos
.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 10,11
|
Имеются абсолютно точные двухчашечные весы и набор из 50 гирь, веса которых равны $\operatorname{arctg} 1$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{2}$, $\operatorname{arctg} \frac{1}{3}$, $\ldots$, $\operatorname{arctg}\frac{1}{50}$. Докажите, что можно выбрать 10 из них и разложить по 5 гирь на разные чаши весов так, чтобы установилось равновесие.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Сумма тангенсов углов величиной 1°, 5°, 9°, 13°, ..., 173°, 177°
равна 45. Докажите это.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
Для любого треугольника можно вычислить сумму квадратов тангенсов половин его углов. Докажите, что эта сумма
а) меньше 2 для любого остроугольного треугольника;
б) не меньше 2 для любого тупоугольного треугольника, величина тупого угла которого больше или равна 2 arctg 4/3; а среди треугольников с тупым углом, меньшим 2 arctg 4/3, имеются и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых больше 2, и такие, сумма квадратов тангенсов половин углов которых меньше 2.
Страница:
<< 23 24 25 26
27 28 29 >> [Всего задач: 210]
Фильтр
