Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]      

В треугольнике $ABC$ точки $P$ и $Q$ изогонально сопряжены. Прямая $PQ$ пересекает окружность $ABC$ в точке $X$. Прямая, симметричная $BC$ относительно $PQ$, пересекает прямую $AX$ в точке $E$. Докажите, что точки $A$, $P$, $Q$, $E$ лежат на одной окружности.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны две окружности $\omega_{1}$ и $\omega_{2}$, касающиеся внешним образом. На окружности $\omega_{1}$ выбран диаметр $AB$, а на окружности $\omega_{2}$ выбран диаметр $CD$. Рассмотрим всевозможные положения точек $A$, $B$, $C$ и $D$, при которых $ABCD$ — выпуклый описанный четырёхугольник, и пусть $I$ — центр его вписанной окружности. Найдите геометрическое место точек $I$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ проведены биссектрисы $AA_1$, $BB_1$ и $CC_1$. Отрезки $BB_1$ и $A_1C_1$ пересекаются в точке $D$. Точка $E$ – проекция точки $D$ на сторону $AC$. Точки $P$ и $Q$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$ соответственно так, что $EP=PD$, $EQ=QD$. Докажите, что $\angle PDB_1=\angle EDQ$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ проведена медиана $AM$ и на ней выбрана точка $D$. Касательные, проведенные к описанной окружности треугольника $BDC$ в точках $B$ и $C$, пересекаются в точке $K$. Докажите, что $DD'$ параллельно $AK$, где $D'$ – точка, изогонально сопряжённая точке $D$ относительно треугольника $ABC$.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике $ABC$ $(\angle C=90^{\circ})$, $CH$ – высота; $HA_{1}, HB_{1}$ – биссектрисы углов $\angle CHB, \angle AHC$ соответственно; $E, F$ – середины отрезков $HB_{1}$ и $HA_{1}$ соответственно. Докажите, что прямые $AE$ и $BF$ пересекаются на биссектрисе угла $ACB$.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 37]