Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]      

а) Точки P₁ и P₂ изогонально сопряжены относительно треугольника ABC. Докажите, что их подерные окружности (описанные окружности подерных треугольников (см. задачу 5.99)) совпадают, причем центром этой окружности является середина отрезка P₁P₂.
б) Докажите, что это утверждение останется верным, если из точек P₁ и P₂ проводить не перпендикуляры к сторонам, а прямые под данным (ориентированным) углом.
в) Докажите, что стороны подерного треугольника точки P₁ перпендикулярны прямым, соединяющим точку P₂ с вершинами треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Даны два треугольника ABC и A₁B₁C₁. Перпендикуляры, опущенные из точек A, B, C на прямые B₁C₁, C₁A₁, A₁B₁ пересекаются в одной точке. Докажите, что тогда перпендикуляры, опущенные из точек A₁, B₁, C₁ на прямые BC, CA, AB тоже пересекаются в одной точке (Штейнер).

Прислать комментарий

Решение

Дан параллелограмм ABCD. Докажите, что подерная окружность точки D относительно треугольника ABC проходит через точку пересечения его диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Пусть $ABC$ – треугольник Понселе, точка $A_1$ симметрична $A$ относительно центра вписанной окружности $I$, точка $A_2$ изогонально сопряжена $A_1$ относительно $ABC$. Найдите ГМТ $A_2$.

Прислать комментарий

Решение

Во вписанном четырехугольнике $ABCD$ через ортоцентр $H$ треугольника $ABC$ проведены прямые, параллельные $BD$ и $CD$ и пересекающие $AC$ и $AB$ соответственно в точках $E$ и $F$. Докажите, что прямая $EF$ делит отрезок $DH$ пополам.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 41]