Страница: << 161 162 163 164 165 166 167 >> [Всего задач: 4283]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 64706

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Биссектрисы AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке I. На отрезках A₁I и B₁I построены как на основаниях равнобедренные треугольники с вершинами A₂ и B₂, лежащими на прямой AB. Известно, что прямая CI делит отрезок A₂B₂ пополам. Верно ли, что треугольник ABC – равнобедренный?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64843

Темы:   [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10,11

Даны 15 целых чисел, среди которых нет одинаковых. Петя записал на доску все возможные суммы по 7 из этих чисел, а Вася – все возможные суммы по 8 из этих чисел. Могло ли случиться, что они выписали на доску одни и те же наборы чисел? (Если какое-то число повторяется несколько раз в наборе у Пети, то и у Васи оно должно повторяться столько же раз.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64845

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Подсчет двумя способами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На столе лежала кучка серебряных монет. Каждым действием либо добавляли одну золотую монету и записывали количество серебряных монет на первый листок, либо убирали одну серебряную монету и записывали количество золотых монет на второй листок. В итоге на столе остались только золотые монеты. Докажите, что в этот момент сумма всех чисел на первом листке равнялась сумме всех чисел на втором.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64947

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Гномы сели за круглый стол и голосованием решили много вопросов. По каждому вопросу можно было голосовать "за", "против" или воздержаться. Если оба соседа какого-либо гнома по какому-нибудь вопросу выбрали один и тот же вариант ответа, то при голосовании по следующему вопросу он выберет этот же вариант. А если они выбрали два разных варианта, то при голосовании по следующему вопросу гном выберет третий вариант. Известно, что по вопросу "Блестит ли золото?" все гномы проголосовали "за", а по вопросу "Страшен ли Дракон?" Торин воздержался. Сколько могло быть гномов?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64965

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На экране компьютера сгенерирована некоторая конечная последовательность нулей и единиц. С ней можно производить следующую операцию: набор цифр "01" заменять на набор цифр "1000". Может ли такой процесс замен продолжаться бесконечно или когда-нибудь он обязательно прекратится?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 161 162 163 164 165 166 167 >> [Всего задач: 4283]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями