Каталог по темам

Задачи

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 594]

Задача 58103

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
	[	Упаковки	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Назовем крестом фигуру, образованную диагоналями квадрата со стороной 1 (рис.). Докажите, что в круге радиуса 100 можно разместить лишь конечное число непересекающихся крестов.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73700

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Лысов Ю.П.

На окружности расположено множество F точек, состоящее из 100 дуг. При любом повороте R окружности множество R(F) имеет хотя бы одну общую точку с множеством F. (Другими словами, для любого угла α от 0° до 180° в множестве F можно указать две точки, отстоящие одна от другой на угол α.) Какую наименьшую сумму длин могут иметь 100 дуг, образующих множество F? Каков будет ответ, если дуг не 100, а n?

Прислать комментарий Решение

Задача 77915

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Ограниченность, монотонность	]
	[	Правило произведения	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Числа 1, 2, 3, ..., 101 выписаны в ряд в каком-то порядке.
Докажите, что из них можно вычеркнуть 90 так, что оставшиеся 11 будут расположены по их величине (либо возрастая, либо убывая).

Прислать комментарий

Решение

Задача 116397

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
Темы:	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

100 красных точек разделили синюю окружность на 100 дуг, длины которых являются всеми натуральными числами от 1 до 100 в произвольном порядке. Докажите, что существуют две перпендикулярные хорды с красными концами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58099

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]

Сложность: 6-
Классы: 8,9,10,11

Даны две окружности, длина каждой из которых равна 100 см. На одной из них отмечено 100 точек, а на другой — несколько дуг, сумма длин которых меньше 1 см. Докажите, что эти окружности можно совместить так, чтобы ни одна отмеченная точка не попала на отмеченную дугу.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 39 40 41 42 43 44 45 >> [Всего задач: 594]