Каталог по темам

Задачи

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 594]

Задача 79488

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98016

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Седракян Н.

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109748

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Раскраски	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Прислать комментарий Решение

Задача 58085

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Прислать комментарий Решение

Задача 78270

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 594]