Каталог по темам

Задачи

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 593]

Задача 58085

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Вписанные и описанные многоугольники	]
	[	Покрытия	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 1 находится 51 точка. Докажите, что какие-то три из них можно накрыть кругом радиуса 1/7.

Прислать комментарий Решение

Задача 78270

Темы:	[	Принцип Дирихле (площадь и объем)	]
Темы:	[	Площади криволинейных фигур	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В прямоугольник со сторонами 20 и 25 бросают 120 квадратов со стороной 1. Доказать, что в прямоугольник можно поместить круг диаметра 1, не пересекающийся ни с одним из квадратов.

Прислать комментарий Решение

Задача 79498

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Сочетания и размещения	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 48 натуральных чисел имеет ровно 10 различных простых делителей.
Докажите, что произведение некоторых четырёх из этих чисел является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78233

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
Темы:	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

В квадрате со стороной 100 расположено N кругов радиуса 1, причём всякий отрезок длины 10, целиком расположенный внутри квадрата, пересекает хотя бы один круг. Доказать, что N $\ge$ 400.

Примечание Problems.Ru: Рассматриваются открытые круги, то есть круги без ограничивающей их окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 78570

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
Темы:	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10

Два неравных картонных диска разделены на 1965 равных секторов. На каждом из дисков произвольно выбраны 200 секторов и раскрашены в красный цвет. Меньший диск наложен на больший, так что их центры совпадают, а секторы целиком лежат один против другого. Меньший диск поворачивают на всевозможные углы, кратные ${\frac{1}{1965}}$ части окружности, оставляя больший диск неподвижным. Доказать, что по крайней мере при 60 положениях на дисках совпадут не более 20 красных секторов.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 593]