Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 593]

Задача 60359

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано 51 различное двузначное число (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78043

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда a = b = 0.

Прислать комментарий

Решение

Задача 79488

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Произведение некоторых 1986 натуральных чисел имеет ровно 1985 различных простых делителей.
Доказать, что либо одно из этих чисел, либо произведение нескольких из них является квадратом натурального числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98016

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Отношение порядка	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Седракян Н.

Дан 101 прямоугольник с целыми сторонами, не превышающими 100.
Докажите, что среди них найдутся три прямоугольника A, B, C, которые можно поместить друг в друга (так что A ⊂ B ⊂ C).

Прислать комментарий

Решение

Задача 109748

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Раскраски	]
	[	Выпуклые многоугольники	]
	[	Многоугольники (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Лифшиц Ю.

Дан выпуклый 2000-угольник, никакие три диагонали которого не пересекаются в одной точке. Каждая из его диагоналей покрашена в один из 999 цветов. Докажите, что существует треугольник, все стороны которого целиком лежат на диагоналях одного цвета. (Вершины треугольника не обязательно должны оказаться вершинами исходного многоугольника.)

Прислать комментарий Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 593]