Каталог по темам

Задачи

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 594]

Задача 116301

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Неравенства с площадями	]
	[	Площадь. Одна фигура лежит внутри другой	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В квадрате со стороной, равной 1, произвольно берут 101 точку (не обязательно внутри квадрата, возможно, часть на сторонах), причём никакие три из них не лежат на одной прямой. Докажите, что существует треугольник с вершинами в этих точках, площадь которого не больше 0,01.

Прислать комментарий Решение

Задача 116873

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Индукция (прочее)	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4
Классы: 9,10

Даны n + 1 попарно различных натуральных чисел, меньших 2n (n > 1).
Докажите, что среди них найдутся три таких числа, что сумма двух из них равна третьему.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58094

Темы:	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]
	[	Центральный угол. Длина дуги и длина окружности	]
	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд. Докажите, что если каждый диаметр пересекает не более k хорд, то сумма длин хорд меньше $\pi$ k.

Прислать комментарий Решение

Задача 60359

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Десятичная система счисления	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Дано 51 различное двузначное число (однозначные числа считаем двузначными с первой цифрой 0). Докажите, что из них можно выбрать 6 таких чисел, что никакие 2 из них не имеют одинаковых цифр ни в одном разряде.

Прислать комментарий

Решение

Задача 78043

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Квадратный трехчлен (прочее)	]
	[	Монотонность и ограниченность	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Трёхчлен ax² + bx + c при всех целых x является точной четвёртой степенью. Доказать, что тогда a = b = 0.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 35 36 37 38 39 40 41 >> [Всего задач: 594]