Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 594]

Задача 35181

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

За круглым столом совещались 2n депутатов. После перерыва эти же 2n депутатов расселись вокруг стола, но уже в другом порядке.
Доказать, что найдутся два депутата, между которыми как до, так и после перерыва сидело одинаковое число человек.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35415

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]
	[	Правило произведения	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

На доске написано 10 натуральных чисел. Докажите, что из этих чисел можно выбрать несколько чисел и расставить между ними знаки "+" и "–" так, чтобы полученная в результате алгебраическая сумма делилась на 1001.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35483

Темы:	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Правило произведения	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Докажите, что существуют числа, не менее чем 100 способами представимые в виде суммы 2001 слагаемого, каждое из которых является 2000-й степенью целого числа.

Прислать комментарий

Решение

Задача 58082

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны	]
	[	Теорема Пифагора (прямая и обратная)	]

Сложность: 4
Классы: 7,8,9

В прямоугольнике 3×4 расположено 6 точек. Докажите, что среди них найдутся две точки, расстояние между которыми не превосходит $\sqrt{5}$ .

Прислать комментарий Решение

Задача 58084

Темы:	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]
	[	Круг, сектор, сегмент и проч.	]

Сложность: 4
Классы: 7,8

На плоскости дано 25 точек, причем среди любых трех из них найдутся две на расстоянии меньше 1. Докажите, что существует круг радиуса 1, содержащий не меньше 13 из этих точек.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 594]