Каталог по темам

Задачи

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 594]

Задача 37000

Темы:	[	Теорема синусов	]
	[	Комбинаторная геометрия (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 5+
Классы: 9,10

Автор: Акопян А.В.

Длина каждой стороны и каждой не главной диагонали выпуклого шестиугольника не превосходит 1. Докажите, что в этом шестиугольнике найдется главная диагональ, длина которой не превосходит .

Прислать комментарий

Решение

Задача 109694

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 6
Классы: 9,10,11

Автор: Токарев С.И.

В квадрате n×n клеток бесконечной шахматной доски расположены n² фишек, по одной фишке в каждой клетке. Ходом называется перепрыгивание любой фишкой через соседнюю по стороне фишку, непосредственно за которой следует свободная клетка. При этом фишка, через которую перепрыгнули, с доски снимается. Докажите, что позиция, в которой дальнейшие ходы невозможны, возникнет не ранее, чем через [] ходов.

Прислать комментарий Решение

Задача 110158

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Многоугольники и многогранники с вершинами в узлах решетки	]
	[	Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.)	]

Сложность: 6
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

Даны натуральные числа p<k<n . На бесконечной клетчатой плоскости отмечены некоторые клетки так, что в любом прямоугольнике (k+1)×n ( n клеток по горизонтали, k+1 – по вертикали) отмечено ровно p клеток. Докажите, что существует прямоугольник k×(n+1) (где n+1 клетка по горизонтали, k – по вертикали), в котором отмечено не менее p+1 клетки.

Прислать комментарий Решение

Задача 73689

Темы:	[	Системы отрезков, прямых и окружностей	]
	[	Принцип крайнего (прочее)	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 6+
Классы: 8,9,10

Автор: Харазишвили А.Г.

На прямой дано 50 отрезков. Докажите, что верно хотя бы одно из следующих утверждений:

некоторые 8 из этих отрезков имеют общую точку;
некоторые 8 из этих отрезков таковы, что никакие два из них не пересекаются.

Прислать комментарий

Решение

Задача 35332

Темы:	[	Числовые неравенства. Сравнения чисел.	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]

Сложность: 3-
Классы: 7,8,9

Сумма 123 чисел равна 3813. Доказать, что из этих чисел можно выбрать 100 с суммой не меньше 3100.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 103 104 105 106 107 108 109 >> [Всего задач: 594]