Страница:
<< 102 103 104 105
106 107 108 >> [Всего задач: 594]
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 8,9,10
|
30 учеников одного класса решили побывать друг у друга в гостях. Известно, что ученик за вечер может сделать несколько посещений, и что в тот вечер, когда к нему кто-нибудь должен прийти, он сам никуда не уходит. Покажите, что для того, чтобы все побывали в гостях у всех,
а) четырёх вечеров недостаточно,
б) пяти вечеров также недостаточно,
в) а десяти вечеров достаточно,
г) и даже семи вечеров тоже достаточно.
|
|
|
Сложность: 5
Классы: 9,10,11
|
В таблице 2n×n были выписаны всевозможные строки длины n из чисел 1 и –1. Затем часть чисел заменили нулями. Докажите, что можно выбрать несколько строк, сумма которых есть строка из нулей. (Суммой строк называется строка, элементы которой являются суммами соответствующих элементов слагаемых.)
|
|
|
Сложность: 5+
Классы: 8,9,10,11
|
На пол положили правильный треугольник
ABC, выпиленный из фанеры. В
пол вбили три гвоздя (по одному вплотную к каждой стороне
треугольника) так, что треугольник невозможно повернуть, не отрывая от
пола. Первый гвоздь делит сторону
AB в отношении 1 : 3, считая от вершины
A, второй делит сторону
BC в отношении 2 : 1, считая от вершины
B.
В каком отношении делит сторону
AC третий гвоздь?
Рассмотрим граф, у которого вершины соответствуют всевозможным трёхэлементным подмножествам множества {1, 2, 3, ..., 2k},
а рёбра проводятся между вершинами, которые соответствуют подмножествам, пересекающимся ровно по одному элементу. Найдите минимальное количество цветов, в которые можно раскрасить вершины графа так, чтобы любые две вершины, соединённые ребром, были разного цвета.
Каждая из девяти прямых разбивает квадрат на два четырёхугольника, площади которых относятся как
2 : 3. Докажите, что по крайней мере три из этих девяти прямых проходят через одну точку.
Страница:
<< 102 103 104 105
106 107 108 >> [Всего задач: 594]
Фильтр
